Med Simsons linje[1] avses inom den euklidiska geometrin den räta linje som sammanbinder de tre fotpunkterna från en punkt på en cirkel till sidorna på en triangel inskriven i cirkeln. Den är uppkallad efter den skotske matematikern Robert Simson (1687–1768) i vars verk man dock inte lyckats finna den. Upptäckten gjordes i stället 1799[2] av landsmannen William Wallace (1768–1843).[3] Den till linjen hörande satsen kallas stundom Simson-Wallaces sats[4] och stundom Wallace-Simsons sats[5], och kan formuleras som:

Simsons linje LN (röd) till triangeln ABC och punkten P på den omskrivna cirkelns omkrets.
Fotpunkterna från en punkt till en triangels sidor är kollinjära om och endast om punkten ligger på den omskrivna cirkeln till triangeln.

Om punkten inte ligger på den omskrivna cirkeln bildar fotpunkterna hörnen i en triangel, fotpunktstriangeln.[6]

Bevis av Simson-Wallaces satsRedigera

 
Figur 2.

Eftersom vinkeln   i figur 2 är rät, är linjen   en diameter i den omskrivna cirkeln till   (Thales sats). Samma sak gäller  . Hörnen i fyrhörningen   ligger alltså på samma cirkel och är därmed cyklisk. Likaledes är fyrhörningen   cyklisk eftersom vinklarna   och   är räta. Eftersom vinkeln mellan en sida och en diagonal i en cyklisk fyrhörning är lika med vinkeln mellan den motstående sidan och den andra diagonalen har vi att

    (1) och
    (2).

Den första likheten (1) ger oss vidare att:

 .

Eftersom   är cyklisk och summan av två motstående vinklar i en cyklisk fyrhörning är   får vi (med hjälp av likheten (2) i sista steget) att

 .

men eftersom

 

så ligger fotpunkterna  ,   och   på en rät linje.

Om   inte ligger på cirkeln är  .[7] och därför får vi  . Ersätt likheten i   med denna olikhet och vi ser att   och fotpunkterna  ,   och   utgör alltså hörnen i en triangel i det fall   inte ligger på cirkeln. Detta bevisar att satsens "om och endast om" gäller.

Om namnetRedigera

Beteckningen "Simsons linje" kan spåras tillbaka till François-Joseph Servois som använde sig av linjen och skrev "qui est, je crois, de Simson" ("som är, tror jag, Simsons") i Joseph Gergonnes tidskrift Annales de mathématiques pures et appliquées 1813-1814.[8] Därefter skrev Jean-Victor Poncelet 1922 i Traité des propriétés projectives des figures "que M. Servois attribue à R. Simson" ("som herr Servois tillskriver R. Simson")[9] och Servois frågetecken hade genom en felformulering av Poncelet blivit ett utropstecken. Detta kom sedan att spridas i fler verk, [10] och när felet uppdagades på 1880-talet var beteckningen redan spidd.[11] Vissa omnämnde den därför som "Wallaces linje" (namnet "Wallacelinjen" fanns dessutom redan på en mycket mer känd gränslinje inom djurgeografin uppkallad efter Alfred Russel Wallace).[12] Namnbytet diskuterades, men slog inte igenom. Ibland används dubbelbeteckningen "Simson-Wallace" eller "Wallace-Simson" precis som för satsen.[13][14]

ReferenserRedigera

  1. ^ Birger Balkenius, Svante Rosenlind, Jonathan Lindberg, 2017, Klassisk geometri presenterad med komplexa tal, i Workshop i matematisk kommunikation (Lunds Tekniska Högskola), sid. 124.
  2. ^ William Wallace, 1801, Mathematical Lucubrations i Thomas Leybourn (red.), 1801, "The Mathematical Repository", Volym 2, sid. 111-118. Detta är dock en samlingsvolym av "The Mathematical Repositry" och artikeln gavs ut i nr VII den 25 mars 1799 (Se R.C. Archibald, 1910, Historical Note on Wallace's Line, uppläst vid Edinburgh Mathematical Societys möte 11 mars 1910.).
  3. ^ Coxeter, H. S. M. och Greitzer, S. L., 1967, Geometry Revisited. Mathematical Association of America, "New Mathematical Library", volym 19, sid. 41. ISBN 0883856190.
  4. ^ Simson Line: What is it? A Mathematical Droodle på Cut the Knot.
  5. ^ Weisstein, Eric W., "Simson Line", MathWorld. (engelska)
  6. ^ Coxeter och Greitzer sid. 40.
  7. ^ När P ligger på cirkeln är summan av vinkeln i P och den i PACB motstående vinkeln i C 180°. Flyttar man in punkten i cirkeln längs PF blir vinkeln i P större, flyttar man ut den blir den mindre, utan att den motstående vinkeln ändras. Summan blir alltså inte längre 180°. (Och om man flyttar P i "sidled", vad händer då? Jo, F "följer med" i sidled för det är ju en fotpunkt!)
  8. ^ François-Joseph Servois, Annales de mathématiques pures et appliquées, vol IV, (1813-1814), sid. 251.
  9. ^ Jean-Victor Poncelet, 1822, Traité des propriétés projectives des figures, §468, sid. 270
  10. ^ Exempelvis i Eugène Charles Catalans lärobok Théorèmes et problèmes de géométrie élémentaire (sid. 41) som kom ut i sex upplagor 1852 till 1879.
  11. ^ J.S. Mackay, 1884, Simson's Line, Nature 30, sid. 635. doi:10.1038/030635a0.
  12. ^ Roger A. Johnson, 1916, Relating to the "Simson line" or "Wallace line", The American Mathematical Monthly, 23:2, sid. 61-62.
  13. ^ Oene Bottema, 2008, Topics in Elementary Geometry, 2 uppl., sid. 40. ISBN 9780387781310
  14. ^ Patrick D Barry, 2015, Geometry with Trigonometry, 2 uppl., sid. 229. ISBN 9780128050675. I denna bok används båda beteckningarna till och med på samma sida.