Rotationsyta

En rotationsyta är den yta som uppkommer då en kurva roterar kring en annan kurva eller linje.

Rotationsyta av en sinuskurva

Satser

Rotationsarea för en funktion y₁(x) vid vertikal rotation kring en horisontell linje y = c

Låt y₁(x) vara definierad i ett intervall l ≤ x ≤ r, då varje y, givet av y₁(x) inom intervallet, ligger helt på en och samma sida om y = c inom intervallet ges den rotationsyta som uppstår då y₁(x) roterar kring y = c inom intervallet av

$A=2\pi \int _{l}^{r}\left|y_{1}(x)-c\right|{\sqrt {1+y_{1}^{\prime }(x)^{2}}}\,dx$

Rotationsarea för en funktion y(x) vid horisontal rotation kring en vertikal linje x = c

Låt y(x) vara definierad i ett intervall l ≤ x ≤ r, då varje y, givet av y(x) inom intervallet, ligger helt på en och samma sida om en horisontell linje y = c ges den rotationsyta som uppstår då y(x) roterar kring x = c inom intervallet av

$A=2\pi \int _{l}^{r}\left|x-c\right|{\sqrt {1+y^{\prime }(x)^{2}}}\,dx$

Bevis

Rotationsarea för vertikal rotation

"En kurva som roteras kring x-axeln."

Låt oss tänka att vi tar ett väldigt litet bågelement Δp av kurvan y₁(x). Eftersom detta bågelementet är väldigt litet så kan vi hantera det som en kort linje med längden av Δp. Vi låter nu Δp rotera kring y = c(x) och får då en cylinder med höjden Δp, Mantelarean av denna cylinder är den rotationsarea som Δp ger upphov till. Mantelarean av en cylinder kan skrivas som 2πrh, där h är höjden och r är radien. I vårt fall är radien Δp`s avstånd till y = c och Δp's avstånd till y = 0 ges av y₁(x), således är radien på Δp`s cirkelväg.

$\left|y_{1}(x)-c\right|$.

Höjden på cylindern är längden av Δp, således har vi nu ett uttryck för mantelarean på den cylinder som Δp ger upphov till vid rotation kring y = c.

$A_{\text{mantel}}=2\pi \left|y_{1}(x)-c\right|\cdot \Delta p$.

Båglängden av bågelementet Δp kan skrivas som

$\Delta p={\sqrt {1+y_{1}^{\prime }(x)^{2}}}\,dx$

Således har vi nu

$A_{\text{mantel}}=2\pi \left|y_{1}(x)-c\right|{\sqrt {1+y_{1}^{\prime }(x)^{2}}}\,dx$

Eftersom vi vill ha rotationsytan för hela y₁(x) så summerar vi rotationsytan för alla små bågelement Δp utmed y₁(x), då vi låter y₁(x) vara definierat i något intervall l ≤ x ≤ r får vi

$A=\int _{l}^{r}2\pi \left|y_{1}(x)-c\right|{\sqrt {1+y_{1}^{\prime }(x)^{2}}}\,dx$

Sedan är det bara att bryta ut 2π ur integralen för att få den slutliga formeln

$A=2\pi \int _{l}^{r}\left|y_{1}(x)-c\right|{\sqrt {1+y_{1}^{\prime }(x)^{2}}}\,dx$

Rotationsarea för horisontell rotation

Låt oss tänka att vi tar ett väldigt litet bågelement Δp av kurvan y₁(x). Eftersom detta bågelementet är väldigt litet så kan vi hantera det som en kort linje med längden av Δp. Vi låter nu Δp rotera kring x = c och får då en cylinder med höjden Δp, Mantelarean av denna cylinder är den rotationsarea som Δp ger upphov till. Mantelarean av en cylinder kan skrivas som 2πrh, där h är höjden och r är radien. I vårt fall är radien Δp`s avstånd till x = c och Δp`s avstånd till x = c ges av |x - c|, således är radien på Δp`s cirkelväg

$\left|x-c\right|$

Höjden på cylindern är längden av Δp, således har vi nu ett uttryck för mantelarean på den cylinder som Δp ger upphov till vid rotation kring x = c

$A_{\text{mantel}}=2\pi \left|x-c\right|\cdot \Delta p$

Båglängden av bågelementet Δp kan skrivas som

$\Delta p={\sqrt {1+y_{1}^{\prime }(x)^{2}}}\,dx$

Således har vi nu

$A_{\text{mantel}}=2\pi \left|x-c\right|{\sqrt {1+y_{1}^{\prime }(x)^{2}}}\,dx$

Eftersom vi vill ha rotationsytan för hela y₁(x) så summerar vi rotationsytan för alla små bågelement Δp utmed y₁(x), då vi låter y₁(x) vara definierat i något intervall l ≤ x ≤ r får vi

$A=\int _{l}^{r}2\pi \left|x-c\right|{\sqrt {1+y_{1}^{\prime }(x)^{2}}}\,dx$

Sedan är det bara att bryta ut 2π ur integralen för att få den slutliga formeln

$A=2\pi \int _{l}^{r}\left|x-c\right|{\sqrt {1+y_{1}^{\prime }(x)^{2}}}\,dx$

Exempel

Vertikal rotation

Fråga

Vilken area har den yta som uppkommer då y(x) = x³, i intervallet 0 ≤ x ≤ 1, roterar kring den horisontella linjen y = 0?

Lösning

Vi använder satsen för vertikal rotation:

$A=2\pi \int _{l}^{r}\left|y_{1}(x)-y_{2}(x)\right|{\sqrt {1+y_{1}^{\prime }(x)^{2}}}\,dx$

I vårt fall är:

$y_{1}(x)=x^{3}$

$y=c=0$

$l=0$

$r=1$

Vi får således:

$A=2\pi \int _{0}^{1}\left|x^{3}\right|{\sqrt {1+((x^{3})^{\prime })^{2}}}\,dx$

x³ är alltid positivt mellan 0 och 1, således behöver vi inte ha absolutbeloppet av x³. Derivatan, med avseende på x, av x³ är 3x² och (3x²)² = 9x⁴ således har vi nu:

$A=2\pi \int _{0}^{1}x^{3}{\sqrt {1+9x^{4}}}\,dx$

Integrerar och får:

$A=2\pi \left[{\frac {(1+9x^{4})^{\frac {3}{2}}}{54}}\right]_{0}^{1}=2\pi {\frac {10^{\frac {3}{2}}-1}{54}}=2\pi {\frac {{\sqrt {1000}}-1}{54}}$

Svar: Arean på ytan som uppkommer är $\scriptstyle {2\pi {\frac {{\sqrt {1000}}-1}{54}}}$ areaenheter.