En rotationsyta är den yta som uppkommer då en kurva roterar kring en annan kurva eller linje.

Rotationsyta av en sinuskurva

SatserRedigera

Rotationsarea för en funktion y1(x) vid vertikal rotation kring en horisontell linje y = cRedigera

Låt y1(x) vara definierad i ett intervall lxr, då varje y, givet av y1(x) inom intervallet, ligger helt på en och samma sida om y = c inom intervallet ges den rotationsyta som uppstår då y1(x) roterar kring y = c inom intervallet av

 

Rotationsarea för en funktion y(x) vid horisontal rotation kring en vertikal linje x = cRedigera

Låt y(x) vara definierad i ett intervall lxr, då varje y, givet av y(x) inom intervallet, ligger helt på en och samma sida om en horisontell linje y = c ges den rotationsyta som uppstår då y(x) roterar kring x = c inom intervallet av

 

BevisRedigera

Rotationsarea för vertikal rotationRedigera

Låt oss tänka att vi tar ett väldigt litet bågelement Δp av kurvan y₁(x). Eftersom detta bågelementet är väldigt litet så kan vi hantera det som en kort linje med längden av Δp. Vi låter nu Δp rotera kring y = c(x) och får då en cylinder med höjden Δp, Mantelarean av denna cylinder är den rotationsarea som Δp ger upphov till. Mantelarean av en cylinder kan skrivas som 2πrh, där h är höjden och r är radien. I vårt fall är radien Δp`s avstånd till y = c och Δp's avstånd till y = 0 ges av y₁(x), således är radien på Δp`s cirkelväg.

 .

Höjden på cylindern är längden av Δp, således har vi nu ett uttryck för mantelarean på den cylinder som Δp ger upphov till vid rotation kring y = c.

 .

Båglängden av bågelementet Δp kan skrivas som

 

Således har vi nu

 

Eftersom vi vill ha rotationsytan för hela y₁(x) så summerar vi rotationsytan för alla små bågelement Δp utmed y₁(x), då vi låter y₁(x) vara definierat i något intervall lxr får vi

 

Sedan är det bara att bryta ut 2π ur integralen för att få den slutliga formeln

 

Rotationsarea för horisontell rotationRedigera

Låt oss tänka att vi tar ett väldigt litet bågelement Δp av kurvan y1(x). Eftersom detta bågelementet är väldigt litet så kan vi hantera det som en kort linje med längden av Δp. Vi låter nu Δp rotera kring x = c och får då en cylinder med höjden Δp, Mantelarean av denna cylinder är den rotationsarea som Δp ger upphov till. Mantelarean av en cylinder kan skrivas som 2πrh, där h är höjden och r är radien. I vårt fall är radien Δp`s avstånd till x = c och Δp`s avstånd till x = c ges av |x - c|, således är radien på Δp`s cirkelväg

 

Höjden på cylindern är längden av Δp, således har vi nu ett uttryck för mantelarean på den cylinder som Δp ger upphov till vid rotation kring x = c

 

Båglängden av bågelementet Δp kan skrivas som

 

Således har vi nu

 

Eftersom vi vill ha rotationsytan för hela y1(x) så summerar vi rotationsytan för alla små bågelement Δp utmed y1(x), då vi låter y1(x) vara definierat i något intervall lxr får vi

 

Sedan är det bara att bryta ut 2π ur integralen för att få den slutliga formeln

 

ExempelRedigera

Vertikal rotationRedigera

FrågaRedigera

Vilken area har den yta som uppkommer då y(x) = x³, i intervallet 0 ≤ x1, roterar kring den horisontella linjen y = 0?

LösningRedigera

Vi använder satsen för vertikal rotation:

 

I vårt fall är:

 
 
 
 

Vi får således:

 

x³ är alltid positivt mellan 0 och 1, således behöver vi inte ha absolutbeloppet av x³. Derivatan, med avseende på x, av x³ är 3x² och (3x²)² = 9x således har vi nu:

 

Integrerar och får:

 

Svar: Arean på ytan som uppkommer är   areaenheter.