Koordinatsystem och transformationer Redigera Med (x, y) betecknas de ursprungliga koordinaterna och med (x', y') de nya.
Parallellförskjutning Redigera Om x 0 , y 0 är koordinaterna för origo i det nya systemet, så gäller:
x
′
=
x
−
x
0
,
y
′
=
y
−
y
0
{\displaystyle x'=x-x_{0},\quad y'=y-y_{0}\,}
Om rotationsvinkeln
α
{\displaystyle \alpha }
x -axeln behöver vridas för att sammanfalla med positiva y -axeln) blir transformationsformlerna
x
′
=
x
cos
α
+
y
sin
α
x
=
x
′
cos
α
−
y
′
sin
α
{\displaystyle x'=x\cos \alpha +y\sin \alpha \quad x=x'\cos \alpha -y'\sin \alpha \,}
y
′
=
y
cos
α
−
x
sin
α
y
=
x
′
sin
α
+
y
′
cos
α
{\displaystyle y'=y\cos \alpha -x\sin \alpha \quad y=x'\sin \alpha +y'\cos \alpha \,}
Avståndet mellan två punkter Redigera Avståndet mellan punkterna (x 1 , y 1 ) och (x 2 , y 2 ) är
(
x
2
−
x
1
)
2
+
(
y
2
−
y
1
)
2
{\displaystyle {\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}\,}
Arean av en triangel Redigera Om triangelns hörn har koordinaterna (x 1 , y 1 ),
(x 2 , y 2 ) och
(x 3 , y 3 ), är dess area
±
T
=
1
2
|
x
1
y
1
1
x
2
y
2
1
x
3
y
3
1
|
=
{\displaystyle \pm T={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=}
=
1
2
[
x
1
(
y
2
−
y
3
)
+
x
2
(
y
3
−
y
1
)
+
x
3
(
y
1
−
y
2
)
]
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]\,}
För att T skall vara positiv, måste punkterna (x 1 ,y 1 ),
(x 2 , y 2 ) och
(x 3 , y 3 ) följa på varandra i positiv led, det vill säga moturs.
Delning av en sträcka Redigera Delas sträckan mellan punkterna (x 1 , y 1 ) och (x 2 , y 2 ), i förhållandet m/n blir delningspunktens koordinater
x
=
m
x
2
+
n
x
1
m
+
n
,
y
=
m
y
2
+
n
y
1
m
+
n
{\displaystyle x={\frac {mx_{2}+nx_{1}}{m+n}},\quad y={\frac {my_{2}+ny_{1}}{m+n}}\,}
Vinkelkoefficienten för en rät linje Redigera Låt
α
{\displaystyle \alpha }
x -axeln. Om linjen går genom punkterna (x 1 , y 1 ) och (x 2 ,y 2 ) blir vinkelkoefficienten
tan
α
=
y
2
−
y
1
x
2
−
x
1
;
x
1
≠
x
2
{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}};\quad x_{1}\neq x_{2}\,}
Räta linjens ekvation Redigera Räta linjens ekvation är en förstgradsekvation i x och y och den allmänna formen är
A
x
+
B
y
+
C
=
0
{\displaystyle Ax+By+C=0\,}
Varje ekvation av första graden representerar en linje.
x
=
a
{\displaystyle x=a\,}
betyder en rät linje parallell med y -axeln och
y
=
b
{\displaystyle y=b\,}
är en linje parallell med x -axeln.
y
=
k
x
{\displaystyle y=k\,x\,}
är en linje genom origo.
Räta linjen kan skrivas på formen
y
=
k
x
+
m
{\displaystyle y=k\,x+m\,}
om linjen ej är parallell med y -axeln, det vill säga B är nollskild. Här är k linjens vinkelkoefficient
k
=
−
A
B
,
m
=
−
C
B
{\displaystyle k=-{\frac {A}{B}},\quad m=-{\frac {C}{B}}\,}
och m y -koordinaten för linjens skärning med y -axeln.
Interceptformens parametrar är linjens skärningspunkter med x -axeln respektive y-axeln och skrivs
x
a
+
y
b
=
1
{\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1}
där a är x -koordinaten för linjens skärningspunkt med x -axeln och b är y -koordinaten för linjens skärningspunkt med y -axeln eller
a
=
−
C
A
,
b
=
−
C
B
{\displaystyle a=-{\frac {C}{A}},\quad b=-{\frac {C}{B}}\,}
x
cos
α
+
y
sin
α
−
m
=
0
{\displaystyle x\cos \alpha +y\sin \alpha -m=0\,}
är normalformen för den räta linjen.
α
{\displaystyle \alpha }
m bestäms ur
m
=
−
C
A
2
+
B
2
,
{\displaystyle m=-{\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},}
cos
α
=
A
A
2
+
B
2
,
sin
α
=
B
A
2
+
B
2
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},\quad \sin \alpha ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}
Kvadratrotens tecken väljs så att m blir positivt.
m är längden av normalen från origo till linjen och
α
{\displaystyle \alpha }
x -axeln.
Avståndet från en punkt till en rät linje Redigera Räta linjen skrivs på normalformen
x
cos
α
+
y
sin
α
−
m
=
0
{\displaystyle x\cos \alpha +y\sin \alpha -m=0\,}
Då är avståndet från punkten P med koordinaterna (x 1 ,y 1 ):
p
=
±
(
x
1
cos
α
+
y
1
sin
α
−
m
)
{\displaystyle p=\pm (x_{1}\cos \alpha +y_{1}\sin \alpha -m)\,}
där tecknet + väljs om origo och P ligger på olika sidor om linjen.
Ekvationen för en rät linje genom punkten (x 1 , y 1 ) med vinkelkoefficienten k är
y
−
y
1
=
k
(
x
−
x
1
)
{\displaystyle y-y_{1}=k(x-x_{1})\,}
Ekvationen för en rät linje genom punkterna (x 1 , y 1 ) och (x 2 , y 2 ) är
y
−
y
1
=
y
2
−
y
1
x
2
−
x
1
(
x
−
x
1
)
{\displaystyle y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})\,}
Vinkeln mellan två linjer Redigera Om linjernas vinkelkoefficienter är k 1 respektive k 2 bestäms vinkeln mellan linjerna av
tan
β
=
k
2
−
k
1
1
+
k
1
k
2
{\displaystyle \tan \beta ={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}\,}
En kurva i ett ortogonalt koordinatsystem ger ett funktionssamband mellan koordinaterna x och y .
Kurvans ekvation kan vara i explicit form
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)\,}
i implicit form
F
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle F(x,y)=0\,}
eller i parameterform
x
=
x
(
t
)
,
y
=
y
(
t
)
{\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t)\,}
I polära koordinater
(
r
,
ψ
)
{\displaystyle (r,\psi )}
r
=
f
(
ψ
)
{\displaystyle r=f(\psi )\,}
eller
F
(
r
,
ψ
)
=
0
{\displaystyle F(r,\psi )=0\,}
Vinkelkoefficienten för tangenten till en kurva i rätvinkliga koordinater är lika med funktionens derivata i tangeringspunkten:
k
=
d
y
d
x
=
d
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle k={\frac {dy}{dx}}={\frac {d\,f(x)}{dx}}\,}
k
=
−
∂
F
∂
x
∂
F
∂
y
(implicit form)
{\displaystyle k=-{\frac {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial F}{\partial y}}}\,\quad {\text{(implicit form)}}}
k
=
y
′
(
t
)
x
′
(
t
)
(parameterform)
{\displaystyle k={\frac {y'(t)}{x'(t)}}\,\quad {\text{(parameterform)}}}
Med en asymptot till en kurva menas en linje sådan att avståndet mellan linjen och en punkt på kurvan går mot noll då punkten går mot oändligheten.
Om en asymptot till kurvan y = f(x) har ekvationen y = kx + m , bestäms k och m enligt
k
=
lim
x
→
∞
f
(
x
)
x
,
m
=
lim
x
→
∞
[
f
(
x
)
−
k
x
]
{\displaystyle k=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {f(x)}{x}},\quad m=\lim _{x\rightarrow \infty }[f(x)-kx]\,}
Som koordinatsystem i R 3 används tre plan, vanligtvis vinkelräta mot varandra. Planens skärningspunkter kallas x -, y - och z -axlarna. De tre planen betecknas efter ingående axlar som xy -planet, yz -planet och xz -planet [ 2]
Rätvinkliga koordinater Redigera
En punkt P :s koordinater (x, y, z) är de vinkelräta avstånden till yz -, xz - och xy -planen.
Om
α
,
β
,
γ
{\displaystyle \alpha ,\,\beta ,\,\gamma \,}
ortsvektorn med längden r och axlarna är
x
=
r
cos
α
,
y
=
r
cos
β
,
z
=
r
cos
γ
{\displaystyle x=r\cos \alpha ,\quad y=r\cos \beta ,\quad z=r\cos \gamma }
där
cos
α
,
cos
β
,
cos
γ
{\displaystyle \cos \alpha ,\,\cos \beta ,\,\cos \gamma }
är riktningscosinerna vilka betecknas a , b och c och för vilka gäller
a
2
+
b
2
+
c
2
=
1
{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\,}
Vinkeln mellan två riktningar Redigera Om två riktningar är givna, OA 1 med riktningscosinerna a 1 , b 1 och c 1 och OA 2 med riktningscosinerna a 2 , b 2 och c 2 , så gäller för vinkeln
θ
{\displaystyle \theta }
OA 1 och OA 2 :
cos
θ
=
a
1
a
2
+
b
1
b
2
+
c
1
c
2
{\displaystyle \cos \theta =a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}\,}
Rotation av koordinatsystem Redigera Vid övergång från ett rätvinkligt koordinatsystem (xyz ) till ett annat (x'y'z' ) med gemensamt origo men olika axelriktningar och med riktningscosinerna i xyz -planet betecknade
för x' -axeln med
(
a
′
,
b
′
,
c
′
)
{\displaystyle (a',b',c')\,}
för y' -axeln med
(
a
″
,
b
″
,
c
″
)
{\displaystyle (a'',b'',c'')\,}
för z' -axeln med
(
a
‴
,
b
‴
,
c
‴
)
{\displaystyle (a''',b''',c''')\,}
blir transformationformlerna
x
=
a
′
x
′
+
b
′
y
′
+
c
′
z
′
y
=
a
″
z
′
+
b
″
y
′
+
c
″
z
′
z
=
a
‴
x
′
+
b
‴
y
′
+
c
‴
z
′
x
′
=
a
′
x
+
a
″
y
+
a
‴
z
y
′
=
b
′
x
+
b
″
y
+
b
‴
z
z
′
=
c
′
x
+
c
″
y
+
c
‴
z
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=a'x'+b'y'+c'z'\\y&=a''z'+b''y'+c''z'\\z&=a'''x'+b'''y'+c'''z'\end{aligned}}{\begin{aligned}\qquad x'&=a'x+a''y+a'''z\\y'&=b'x+b''y+b'''z\\z'&=c'x+c''y+c'''z\end{aligned}}}
Avståndet mellan två punkter Redigera Avståndet d mellan punkterna (x 1 , y 1 , z 1 ) och (x 2 , y 2 , z 2 ) är
d
=
(
x
2
−
x
1
)
2
+
(
y
2
−
y
1
)
2
+
(
z
2
−
z
1
)
2
{\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}\,}
Om a , b och c är riktningscosinerna för en linje genom de båda punkterna, beräknas dessa som
a
=
x
2
−
x
1
d
,
b
=
y
2
−
y
1
d
,
c
=
z
2
−
z
1
d
,
{\displaystyle a={\frac {x_{2}-x_{1}}{d}},\quad b={\frac {y_{2}-y_{1}}{d}},\quad c={\frac {z_{2}-z_{1}}{d}},\,}
Om (x0 , y0 , z0 ) är en ortsvektor till en punkt i planet och (A , B , C ) en normalvektor till planet, kan planets ekvation skrivas som skalärprodukten av normalvektorn och vektorn (x - x0 , y - y0 , z - z0 ):
(
A
,
B
,
C
)
(
x
−
x
0
,
y
−
y
0
,
z
−
z
0
)
=
0
{\displaystyle (A,B,C)(x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0})=0\,}
vilket ger den allmänna formen av planets ekvation som
A
x
+
B
y
+
C
z
+
D
=
0
{\displaystyle Ax+By+Cz+D=0\,}
där D är
−
(
A
x
0
+
B
y
0
+
C
z
0
)
{\displaystyle -(Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0})\,}
En ekvation av första graden representerar alltid ett plan. Riktningscosinerna för planets normal är
A
±
A
2
+
B
2
+
C
2
)
,
B
±
A
2
+
B
2
+
C
2
)
,
C
±
A
2
+
B
2
+
C
2
)
,
{\displaystyle {\frac {A}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2})}}}},\quad {\frac {B}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2})}}}},\quad {\frac {C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2})}}}},\,}
Tecknet framför roten väljs så att
D
±
A
2
+
B
2
+
C
2
)
{\displaystyle {\frac {D}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2})}}}}\,}
Genom division med
±
A
2
+
B
2
+
C
2
)
{\displaystyle \pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2})}}\,}
erhålls planets ekvation på normalform
x
cos
α
+
y
cos
β
+
z
cos
γ
=
p
{\displaystyle x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma =p\,}
där
α
,
β
,
γ
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }
p är längden av normalen från origo till planet.
Ekvationen för ett plan med normalvektorn n , en given punkt r 0 och med r som ortsvektor för en godtycklig punkt (x, y, z) i planet är
(
r
−
r
0
)
n
=
0
{\displaystyle (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})\mathbf {n} =0\,}
Avståndet från en punkt till ett plan Redigera Punktens koordinater sätts in i planets normalform
x
cos
α
+
y
cos
β
+
z
cos
γ
−
p
=
0
{\displaystyle x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\,}
och avståndet är då lika med vänsterledet med tecknet '-' om punkt och origo ligger på samma sida om planet, annars med tecknet '+'.
Exempel:
Beräkna avståndet från punkten (1, -3, 2) till planet
x
+
2
y
−
2
z
+
6
=
0
{\displaystyle x+2y-2z+6=0\,}
Planets ekvation i normalform
x
+
2
y
−
2
z
+
6
−
3
=
0
;
d
=
1
−
3
⋅
2
−
2
⋅
2
+
6
−
3
=
1
{\displaystyle {\frac {x+2y-2z+6}{-3}}=0;\quad d={\frac {1-3\cdot 2-2\cdot 2+6}{-3}}=1\,}
Vinkeln mellan två plan Redigera Vinkeln
ω
{\displaystyle \omega }
A
1
x
+
B
1
y
+
C
1
z
+
D
1
=
0
{\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0\,}
A
2
x
+
B
2
y
+
C
2
z
+
D
2
=
0
{\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0\,}
bestäms av ekvationen
cos
ω
=
A
1
A
2
+
B
1
B
2
+
C
1
C
2
A
1
2
+
B
1
2
+
C
1
2
A
2
2
+
B
2
2
+
C
2
2
{\displaystyle \cos \omega ={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}}{\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}}}\,}
Om planens normalvektorer är kända kan skalärprodukten av normalvektorerna användas för att bestämma vinkeln mellan planen:
cos
ω
=
n
1
n
2
|
n
1
|
|
n
2
|
{\displaystyle \cos \omega ={\frac {\mathbf {n} _{1}\mathbf {n} _{2}}{|\mathbf {n} _{1}||\mathbf {n} _{2}|}}\,}
Räta linjen kan betraktas som skärningen mellan två plan och representeras av förstagradsekvationerna
A
1
x
+
B
1
y
+
C
1
z
+
D
1
=
0
{\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0\,}
A
2
x
+
B
2
y
+
C
2
z
+
D
2
=
0
{\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0\,}
En linje är bestämd av en punkt P = (x 0 , y 0 , z 0 ) på linjen och en riktningsvektor u :
I parameterform gäller för en punkt (x , y , z ) på linjen:
(
x
,
y
,
z
)
=
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
+
λ
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle (x,y,z)=(x_{0},y_{0},z_{0})+\lambda (a,b,c)\,}
eller
x
=
x
0
+
a
λ
{\displaystyle x=x_{0}+a\lambda \,}
y
=
y
0
+
b
λ
{\displaystyle y=y_{0}+b\lambda \,}
z
=
z
0
+
c
λ
{\displaystyle z=z_{0}+c\lambda \,}
där a , b och c är riktningskoefficienter, eller efter eliminering av parametern
x
−
x
0
a
=
y
−
y
0
b
=
z
−
z
0
c
{\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{a}}={\frac {y-y_{0}}{b}}={\frac {z-z_{0}}{c}}\,}
I vektorform kan linjens ekvation skrivas
r
=
r
0
+
t
u
{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+t\mathbf {u} \,}
En kurva i R 3 kan framställas på flera sätt:
Som skärningen mellan två ytor:
F
1
(
x
,
y
,
z
)
=
0
F
2
(
x
,
y
,
z
)
=
0
{\displaystyle F_{1}(x,y,z)=0\quad F_{2}(x,y,z)=0\,}
I parameterform:
x
=
x
(
t
)
y
=
y
(
t
)
z
=
z
(
t
)
{\displaystyle x=x(t)\quad y=y(t)\quad z=z(t)\,}
I vektorform:
r
=
x
(
t
)
i
+
y
(
t
)
j
+
z
(
t
)
k
{\displaystyle \mathbf {r} =x(t)\mathbf {i} +y(t)\mathbf {j} +z(t)\mathbf {k} \,}
Exempel:
Skruvlinjen kan framställas i parameterform som
x
=
r
cos
(
t
)
y
=
r
sin
(
t
)
z
=
k
t
{\displaystyle x=r\cos(t)\quad y=r\sin(t)\quad z=kt\,}
Längden av ett bågelement på kurvan är
d
s
=
d
x
2
+
d
y
2
+
d
z
2
{\displaystyle ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}\,}
Längden av kurvbågen mellan t 0 och t är
s
=
∫
t
0
t
x
′
(
t
)
2
+
y
′
(
t
)
2
+
z
′
(
t
)
2
d
t
{\displaystyle s=\int _{t_{0}}^{t}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}+z'(t)^{2}}}dt\,}
Tangentens ekvation i vektorform är
t
=
(
d
r
d
s
)
0
,
r
=
r
0
+
λ
(
d
r
d
s
)
0
{\displaystyle \mathbf {t} =\left({\frac {d\mathbf {r} }{ds}}\right)_{0},\quad \mathbf {r} =\mathbf {r_{0}} +\lambda \left({\frac {d\mathbf {r} }{ds}}\right)_{0}\,}
Ekvationen i vektorform för normalplanet i punkten s är
(
r
−
r
0
)
(
d
r
d
s
)
0
=
0
{\displaystyle (\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} )\left({\frac {d\mathbf {r} }{ds}}\right)_{0}=0\,}
Oskulerande planet Redigera I en punkt på en kurva i R 3 kan i allmänhet läggas oändligt många tangentplan till kurvan. Det tangentplan som närmast ansluter till kurvan kallas oskulerande planet och har ekvationen
A
(
x
−
x
0
)
+
B
(
y
−
y
0
)
+
C
(
z
−
z
0
)
=
0
{\displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0\,}
där A, B och C bestäms ur formlerna
A
=
y
′
(
s
)
z
″
(
s
)
−
z
′
(
s
)
y
″
(
s
)
{\displaystyle A=y'(s)z''(s)-z'(s)y''(s)\,}
B
=
z
′
(
s
)
x
″
(
s
)
−
x
′
(
s
)
z
″
(
s
)
{\displaystyle B=z'(s)x''(s)-x'(s)z''(s)\,}
C
=
x
′
(
s
)
y
″
(
s
)
−
y
′
(
s
)
x
″
(
s
)
{\displaystyle C=x'(s)y''(s)-y'(s)x''(s)\,}
eller i vektorform
(
r
−
r
0
)
(
d
r
d
s
×
d
2
r
d
s
2
)
0
=
0
{\displaystyle (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})\left({\frac {d\mathbf {r} }{ds}}\times {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{ds^{2}}}\right)_{0}=0\,}
Den normal till kurvan som ligger i det oskulerande planet kallas principalnormal . Dess riktning är den samma som för vektorn
(
d
2
r
d
s
2
)
0
{\displaystyle \left({\frac {d^{2}\mathbf {r} }{ds^{2}}}\right)_{0}\,}
Längden av denna vektor benämns krökning K , varför vektorn också kallas krökningsvektor:
K
=
|
d
2
r
d
s
2
|
0
=
(
d
2
x
d
s
2
)
0
2
+
(
d
2
y
d
s
2
)
0
2
+
(
d
2
z
d
s
2
)
0
2
{\displaystyle K=\left|{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{ds^{2}}}\right|_{0}={\sqrt {\left({\frac {d^{2}x}{ds^{2}}}\right)_{0}^{2}+\left({\frac {d^{2}y}{ds^{2}}}\right)_{0}^{2}+\left({\frac {d^{2}z}{ds^{2}}}\right)_{0}^{2}}}\,}
Krökningsradien är krökningens inverterade värde:
R
=
1
K
=
1
(
d
2
x
d
s
2
)
0
2
+
(
d
2
y
d
s
2
)
0
2
+
(
d
2
z
d
s
2
)
0
2
{\displaystyle R={\frac {1}{K}}={\frac {1}{\sqrt {\left({\frac {d^{2}x}{ds^{2}}}\right)_{0}^{2}+\left({\frac {d^{2}y}{ds^{2}}}\right)_{0}^{2}+\left({\frac {d^{2}z}{ds^{2}}}\right)_{0}^{2}}}}\,}
Den punkt på principalnormalen som ligger på avståndet R från kurvan kallas krökningscentrum och kan i vektorform anges som
r
=
r
0
+
(
R
2
d
2
r
d
s
2
)
0
=
r
0
+
R
n
{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+\left(R^{2}{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{ds^{2}}}\right)_{0}=\mathbf {r} _{0}+R\mathbf {n} \,}
En yta i R 3 kan skrivas i parameterform
x
=
x
(
u
,
v
)
{\displaystyle x=x(u,v)\,}
y
=
y
(
u
,
v
)
{\displaystyle y=y(u,v)\,}
z
=
z
(
u
,
v
)
{\displaystyle z=z(u,v)\,}
eller i vektorform
r
=
r
(
u
,
v
)
{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v)\,}
Ekvationen kan också vara given på formen
F
(
x
,
y
,
z
)
=
0
{\displaystyle F(x,y,z)=0\,}
eller
z
=
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle z=f(x,y)\,}
I det senare fallet kan x och y betraktas som parametrar, varvid ekvationen i parameterform blir:
x
=
u
y
=
v
z
=
f
(
u
,
v
)
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=u\\y&=v\\z&=f(u,v)\,\end{aligned}}}
d
r
2
=
d
s
2
=
d
x
2
+
d
y
2
+
d
z
2
=
=
[
1
+
(
∂
z
∂
x
)
2
]
d
x
2
+
2
∂
z
∂
x
∂
z
∂
y
d
x
d
y
+
[
1
+
(
∂
z
∂
y
)
2
]
d
y
2
{\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {r} ^{2}&=ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=\\&=\left[1+\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)^{2}\right]dx^{2}+2{\frac {\partial z}{\partial x}}{\frac {\partial z}{\partial y}}dx\,dy+\left[1+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)^{2}\right]dy^{2}\,\end{aligned}}}
Tangentplanets ekvation Redigera Om ekvationen för ytan är
F
(
x
,
y
,
z
)
=
0
{\displaystyle F(x,y,z)=0\,}
kan tangentplanets ekvation skrivas om tangeringspunkten är (x0 , y0 , z0 ):
(
x
−
x
0
)
F
x
0
′
+
(
y
−
y
0
)
F
y
0
′
+
(
z
−
z
0
)
F
z
0
′
=
0
{\displaystyle (x-x_{0})F_{x_{0}}'+(y-y_{0})F_{y_{0}}'+(z-z_{0})F_{z_{0}}'=0\,}
eller i vektorform som
(
r
−
r
0
)
(
grad
F
)
0
=
0
{\displaystyle (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})({\text{grad}}\,F)_{0}=0\,}
Ytnormalens ekvation Redigera Om ytans ekvation är
F
(
x
,
y
,
z
)
=
0
{\displaystyle F(x,y,z)=0\,}
så gäller för ytnormalen i punkten (x0 , y0 , z0 ):
x
−
x
0
F
x
0
′
=
y
−
y
0
F
y
0
′
=
z
−
z
0
F
z
0
′
{\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{F_{x_{0}}'}}={\frac {y-y_{0}}{F_{y_{0}}'}}={\frac {z-z_{0}}{F_{z_{0}}'}}\,}
eller
r
−
r
0
=
λ
(
grad
F
)
0
{\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}=\lambda ({\text{grad}}\,F)_{0}\,}
![= \frac{1}{2}[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)]\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0f59a1cbf40124aa51042333257ebb46bbe5b9f)
![k=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x},\quad m=\lim_{x \rightarrow \infty}[f(x) - kx]\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/179982adf2ef7eccae4ac3966dd1d9bb1d2826c8)
![\begin{align}
d\mathbf{r}^2 &=ds^2=dx^2+dy^2+dz^2 =\\
&=\left[1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2\right]dx^2+2\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y}dx\,dy+\left[1+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2\right]dy^2\,
\end{align}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89bf4a96370221f0a71e0a0d1dc8138847ecfb89)
Wikimedia Commons har media som rör Analytisk geometri.