Öppna huvudmenyn
Torus.png

Den analytiska geometrin är en gren av geometrin där algebraiska metoder från främst linjär algebra används för att lösa geometriska problem. Att de reella talens algebra kan användas för lösning av geometriska problem vilar på Cantor-Dedekinds axiom.

Metoder från analytisk geometri används inom alla tillämpade vetenskaper, men särskilt inom fysiken, till exempel för beskrivningen av planeternas banor. Ursprungligen behandlade analytisk geometri endast frågor rörande planet och den rumsliga (euklidiska) geometrin. Mera allmänt beskriver den analytiska geometrin affina rum av godtyckliga dimensioner över godtyckliga kroppar.

Innehåll

KoordinatsystemRedigera

 
Koordinatsystemet är kartesiskt om axlarna är inbördes vinkelräta mot varandra

Grundläggande för analytisk geometri är begagnandet av ett koordinatsystem. Vanligen används ett kartesiskt koordinatsystem [1].

Analytisk geometri i R2Redigera

Koordinatsystem och transformationerRedigera

Med (x, y) betecknas de ursprungliga koordinaterna och med (x', y') de nya.

ParallellförskjutningRedigera

Om x0, y0 är koordinaterna för origo i det nya systemet, så gäller:

 

RotationRedigera

Om rotationsvinkeln   räknas positiv (den vinkel som positiva x-axeln behöver vridas för att sammanfalla med positiva y-axeln) blir transformationsformlerna

 
 

Avståndet mellan två punkterRedigera

Avståndet mellan punkterna (x1, y1) och (x2, y2) är

 

Arean av en triangelRedigera

Om triangelns hörn har koordinaterna (x1, y1), (x2, y2) och (x3, y3), är dess area

 
 

För att T skall vara positiv, måste punkterna (x1,y1), (x2, y2) och (x3, y3) följa på varandra i positiv led, det vill säga moturs.

Delning av en sträckaRedigera

Delas sträckan mellan punkterna (x1, y1) och (x2, y2), i förhållandet m/n blir delningspunktens koordinater

 

Vinkelkoefficienten för en rät linjeRedigera

Låt   vara den vinkel en linje bildar med x-axeln. Om linjen går genom punkterna (x1, y1) och (x2,y2) blir vinkelkoefficienten

 

Räta linjens ekvationRedigera

Räta linjens ekvation är en förstgradsekvation i x och y och den allmänna formen är

 

Varje ekvation av första graden representerar en linje.

 

betyder en rät linje parallell med y-axeln och

 

är en linje parallell med x-axeln.

 

är en linje genom origo.

k-formenRedigera

Räta linjen kan skrivas på formen

 

om linjen ej är parallell med y-axeln, det vill säga B är nollskild. Här är k linjens vinkelkoefficient

 

och m y-koordinaten för linjens skärning med y-axeln.

InterceptformenRedigera

Interceptformens parametrar är linjens skärningspunkter med x-axeln respektive y-axeln och skrivs

 

där a är x-koordinaten för linjens skärningspunkt med x-axeln och b är y-koordinaten för linjens skärningspunkt med y-axeln eller

 

NormalformenRedigera

 

är normalformen för den räta linjen.   och m bestäms ur

 
 

Kvadratrotens tecken väljs så att m blir positivt.

m är längden av normalen från origo till linjen och   är denna normals vinkel med x-axeln.

Avståndet från en punkt till en rät linjeRedigera

Räta linjen skrivs på normalformen

 

Då är avståndet från punkten P med koordinaterna (x1,y1):

 

där tecknet + väljs om origo och P ligger på olika sidor om linjen.

EnpunktsformenRedigera

Ekvationen för en rät linje genom punkten (x1, y1) med vinkelkoefficienten k är

 

TvåpunktsformenRedigera

Ekvationen för en rät linje genom punkterna (x1, y1) och (x2, y2) är

 

Vinkeln mellan två linjerRedigera

Om linjernas vinkelkoefficienter är k1 respektive k2 bestäms vinkeln mellan linjerna av

 

Plana kurvorRedigera

En kurva i ett ortogonalt koordinatsystem ger ett funktionssamband mellan koordinaterna x och y.

Kurvans ekvation kan vara i explicit form

 

i implicit form

 

eller i parameterform

 

I polära koordinater   blir kurvans ekvation

 

eller

 

TangentenRedigera

Vinkelkoefficienten för tangenten till en kurva i rätvinkliga koordinater är lika med funktionens derivata i tangeringspunkten:

 
 
 

AsymptoterRedigera

Med en asymptot till en kurva menas en linje sådan att avståndet mellan linjen och en punkt på kurvan går mot noll då punkten går mot oändligheten.

Om en asymptot till kurvan y = f(x) har ekvationen y = kx + m, bestäms k och m enligt

 

Analytisk geometri i R3Redigera

KoordinatsystemRedigera

Som koordinatsystem i R3 används tre plan, vanligtvis vinkelräta mot varandra. Planens skärningspunkter kallas x-, y- och z-axlarna. De tre planen betecknas efter ingående axlar som xy-planet, yz-planet och xz-planet [2].

Rätvinkliga koordinaterRedigera

RiktningscosinerRedigera
Huvudartikel: Riktningscosiner

En punkt P:s koordinater (x, y, z) är de vinkelräta avstånden till yz-, xz- och xy-planen. Om   är vinklarna mellan ortsvektorn med längden r och axlarna är

 

där

 

är riktningscosinerna vilka betecknas a, b och c och för vilka gäller

 
Vinkeln mellan två riktningarRedigera

Om två riktningar är givna, OA1 med riktningscosinerna a1, b1 och c1 och OA2 med riktningscosinerna a2, b2 och c2, så gäller för vinkeln   mellan OA1 och OA2:

 
Rotation av koordinatsystemRedigera

Vid övergång från ett rätvinkligt koordinatsystem (xyz) till ett annat (x'y'z') med gemensamt origo men olika axelriktningar och med riktningscosinerna i xyz-planet betecknade

för x'-axeln med  
för y'-axeln med  
för z'-axeln med  

blir transformationformlerna

 
Avståndet mellan två punkterRedigera

Avståndet d mellan punkterna (x1, y1, z1) och (x2, y2, z2) är

 

Om a, b och c är riktningscosinerna för en linje genom de båda punkterna, beräknas dessa som

 

Plan i R3Redigera

Om (x0, y0, z0) är en ortsvektor till en punkt i planet och (A, B, C) en normalvektor till planet, kan planets ekvation skrivas som skalärprodukten av normalvektorn och vektorn (x - x0, y - y0, z - z0):

 

vilket ger den allmänna formen av planets ekvation som

 

där D är

 

En ekvation av första graden representerar alltid ett plan. Riktningscosinerna för planets normal är

 

Tecknet framför roten väljs så att

  alltid är positiv. Därigenom är normalen riktad mot planets "positiva" sida.

NormalformRedigera

Genom division med

 

erhålls planets ekvation på normalform

 

där   är de vinklar som planets normal bildar med koordinataxlarna och p är längden av normalen från origo till planet.

VektorformRedigera

Ekvationen för ett plan med normalvektorn n, en given punkt r0 och med r som ortsvektor för en godtycklig punkt (x, y, z) i planet är

 

Avståndet från en punkt till ett planRedigera

Punktens koordinater sätts in i planets normalform

 

och avståndet är då lika med vänsterledet med tecknet '-' om punkt och origo ligger på samma sida om planet, annars med tecknet '+'.

Exempel:

Beräkna avståndet från punkten (1, -3, 2) till planet

 

Planets ekvation i normalform

 

Vinkeln mellan två planRedigera

Vinkeln   mellan planen

 
 

bestäms av ekvationen

 

Om planens normalvektorer är kända kan skalärprodukten av normalvektorerna användas för att bestämma vinkeln mellan planen:

 

Räta linjenRedigera

Räta linjen kan betraktas som skärningen mellan två plan och representeras av förstagradsekvationerna

 
 

En linje är bestämd av en punkt P = (x0, y0, z0) på linjen och en riktningsvektor u:

I parameterform gäller för en punkt (x, y, z) på linjen:

 

eller

 
 
 

där a, b och c är riktningskoefficienter, eller efter eliminering av parametern

 

I vektorform kan linjens ekvation skrivas

 

Kurvor i R3Redigera

En kurva i R3 kan framställas på flera sätt:

Som skärningen mellan två ytor:

 

I parameterform:

 

I vektorform:

 

Exempel:

Skruvlinjen kan framställas i parameterform som

 

BåglängdRedigera

Längden av ett bågelement på kurvan är

 

Längden av kurvbågen mellan t0 och t är

 

TangentRedigera

Tangentens ekvation i vektorform är

 

NormalplanetRedigera

Ekvationen i vektorform för normalplanet i punkten s är

 

Oskulerande planetRedigera

I en punkt på en kurva i R3 kan i allmänhet läggas oändligt många tangentplan till kurvan. Det tangentplan som närmast ansluter till kurvan kallas oskulerande planet och har ekvationen

 

där A, B och C bestäms ur formlerna

 
 
 

eller i vektorform

 

PrincipalnormalRedigera

Den normal till kurvan som ligger i det oskulerande planet kallas principalnormal. Dess riktning är den samma som för vektorn

 

Längden av denna vektor benämns krökning K, varför vektorn också kallas krökningsvektor:

 

KrökningsradieRedigera

Krökningsradien är krökningens inverterade värde:

 

Den punkt på principalnormalen som ligger på avståndet R från kurvan kallas krökningscentrum och kan i vektorform anges som

 

Ytor i R3Redigera

En yta i R3 kan skrivas i parameterform

 
 
 

eller i vektorform

 

Ekvationen kan också vara given på formen

 

eller

 

I det senare fallet kan x och y betraktas som parametrar, varvid ekvationen i parameterform blir:

 

LinjeelementRedigera

 

Tangentplanets ekvationRedigera

Om ekvationen för ytan är

 

kan tangentplanets ekvation skrivas om tangeringspunkten är (x0, y0, z0):

 

eller i vektorform som

 

Ytnormalens ekvationRedigera

Om ytans ekvation är

 

så gäller för ytnormalen i punkten (x0, y0, z0):

 

eller

 

Se ävenRedigera

ReferenserRedigera

  1. ^ Percey Franklyn Smith, Arthur Sullivan Gale (1905)Introduction to Analytic Geometry, Athaeneum Press
  2. ^ William H. McCrea, Analytic Geometry of Three Dimensions Courier Dover Publications, Jan 27, 2012