Riktningscosiner

Inom analytisk geometri, är en euklidisk vektors riktningscosiner cosinusvärdena för vinklarna mellan vektorn och de tre koordinataxlarna. Ekvivalent, de är varje baskomponents bidrag till en enhetsvektor i vektorns riktning. Riktningscosiner är en analog utvidgning av den vanliga lutningen för högre dimensioner.

En vektor v i ℝ³ med riktningsvinklar

Riktningscosiner och riktningsvinklar för enhetsvektorn v/|v|

Tredimensionella kartesiska koordinater

Om v är en euklidisk vektor i ℝ³,

$\mathbf {v} =v_{x}\mathbf {e} _{x}+v_{y}\mathbf {e} _{y}+v_{z}\mathbf {e} _{z},$

där $\mathbf {e} _{x},\ \mathbf {e} _{y},\ \mathbf {e} _{z}$ är standardbasen i kartesisk notation, är riktningscosinerna

${\begin{alignedat}{2}a&{}=\cos \alpha ={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{x}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{x}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\b&{}=\cos \beta ={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{y}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{y}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\c&{}=\cos \gamma ={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{z}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{z}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}.\end{alignedat}}$

och $v_{x},\ v_{y},\ v_{z}$ de kartesiska koordinaterna för enhetsvektorn $v/|v|$ och $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ är riktningsvinklarna för vektorn $v$. Genom att addera ekvationernas respektive kvadrater fås

$\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1$

Riktningsvinklarna $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ är trubbvinkliga eller spetsvinkliga, det vill säga, $0\leq \alpha \leq \pi ,\ 0\leq \beta \leq \pi$ och $0\leq \gamma \leq \pi$ och de anger vinklarna som bildas mellan v och enhetsbasens vektorer, $\mathbf {e} _{x},\ \mathbf {e} _{y},\ \mathbf {e} _{z}$.

Mera allmänt, refererar riktningscosin till cosinusvärdet av vinkeln mellan varje par av euklidiska vektorer.

Exempel

Vinkeln mellan två riktningar

Om två vektorer är givna, v₁ med riktningscosinerna a₁, b₁ och c₁ och v₂ med riktningscosinerna a₂, b₂ och c₂, så gäller för vinkeln $\theta$ mellan v₁ och v₂:

$\cos \theta =a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}$

Planets normalform

Om $\alpha ,\beta ,\gamma$ är riktningsvinklarna för en normal till ett plan är planets ekvation på normalform

$x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma =p$

där p är längden av normalen från origo till planet.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Direction cosines, 29 oktober 2017.