Pseudometriskt rum

I matematiken är ett pseudometriskt rum en mängd med en tilldelad avståndsfunktion, en pseudometrik, i likhet med ett metriskt rum, men i ett pseudometriskt rum kan avståndsfunktionen bli noll även om elementen inte är lika.

Ibland, framförallt inom funktionalanalys, används termen semimetrisk rum om pseudometriska rum; dock har semimetriskt rum en annan betydelse inom topologi.

Definition

Ett pseudometriskt rum är ett par $(X,d)$ där $X$ är en mängd och $d$ är en pseudometrik. Villkoren för en pseudometrik är, för $x,y\in X$:

$d(x,y)\geq 0$

$d(x,x)=0\,$

$d(x,y)=d(y,x)\,$ (symmetri)

$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (triangelolikhet)

Skillnaden mellan en metrik och en pseudometrik är alltså att för en pseudometrik implicerar inte $d(x,y)=0$ att $x=y$, vilket är fallet för en vanlig metrik.

Exempel

Pseudometriska rum dyker upp i funktionalanalys. Om man till exempel betraktar ett rum $X$ och utifrån detta skapar ett nytt rum ${\mathcal {F}}(X)$ som består av alla funktioner $f:X\to \mathbb {R}$. Om vi väljer ett speciellt element $x_{0}\in X$, kan vi få en pseudometrik på ${\mathcal {F}}(X)$ genom:

$d(f,g)=|f(x_{0})-g(x_{0})|\,$.

där $f,g\in {\mathcal {F}}(X)$.

I ett vektorrum kan man inducera en pseudometrik från en pseudonorm, $p$ genom:

$d(x,y)=p(x-y)\,$

Metriska rum från pseudometriska rum

Man kan, utgående från ett pseudometriskt rum, bilda ett metriskt rum.

Låt (X,d) vara ett pseudometriskt rum. Definiera en ekvivalensrelation, $\sim$, på X genom:

$x\sim y\,$ om $d(x,y)=0\,$

och låt $X^{*}$ vara mängden av ekvivalensklasser som uppstår. Definiera sedan metriken:

$d^{*}([x],[y])=d(x,y)\,$

då $(X^{*},d^{*})$ är ett metriskt rum.

Exempel

Det viktiga exempel för den här ekvivalensrelation är $L^{p}$-rummet när $L^{p}$-normen

$\|f\|_{p}:=\left({\int |f|^{p}}\right)^{1/p}$

för $f\in L^{p}$ formar en pseudometrik

$d(f,g):=\|f-g\|_{p}$

för $f,g\in L^{p}$. Vi definiera $L^{p}$-rummet (med samma symbol) så att det har metriken $d^{*}\,$ för ekvivalensklasser.

Se även

• Metriskt rum