Pseudometriskt rum

(Omdirigerad från Pseudometrik)

I matematiken är ett pseudometriskt rum en mängd med en tilldelad avståndsfunktion, en pseudometrik, i likhet med ett metriskt rum, men i ett pseudometriskt rum kan avståndsfunktionen bli noll även om elementen inte är lika.

Ibland, framförallt inom funktionalanalys, används termen semimetrisk rum om pseudometriska rum; dock har semimetriskt rum en annan betydelse inom topologi.

DefinitionRedigera

Ett pseudometriskt rum är ett par   där   är en mängd och   är en pseudometrik. Villkoren för en pseudometrik är, för  :

 
 
  (symmetri)
  (triangelolikhet)

Skillnaden mellan en metrik och en pseudometrik är alltså att för en pseudometrik implicerar inte   att  , vilket är fallet för en vanlig metrik.

ExempelRedigera

Pseudometriska rum dyker upp i funktionalanalys. Om man till exempel betraktar ett rum   och utifrån detta skapar ett nytt rum   som består av alla funktioner  . Om vi väljer ett speciellt element  , kan vi få en pseudometrik på   genom:

 .

där  .

I ett vektorrum kan man inducera en pseudometrik från en pseudonorm,   genom:

 

Metriska rum från pseudometriska rumRedigera

Man kan, utgående från ett pseudometriskt rum, bilda ett metriskt rum.

Låt (X,d) vara ett pseudometriskt rum. Definiera en ekvivalensrelation,  , på X genom:

  om  

och låt   vara mängden av ekvivalensklasser som uppstår. Definiera sedan metriken:

 

  är ett metriskt rum.

ExempelRedigera

Det viktiga exempel för den här ekvivalensrelation är  -rummet när  -normen

 

för   formar en pseudometrik

 

för  . Vi definiera  -rummet (med samma symbol) så att det har metriken   för ekvivalensklasser.

Se ävenRedigera