Öppna huvudmenyn

I matematiken är ett pseudometriskt rum en mängd med en tilldelad avståndsfunktion, en pseudometrik, i likhet med ett metriskt rum, men i ett pseudometriskt rum kan avståndsfunktionen bli noll även om elementen inte är lika.

Ibland, framförallt inom funktionalanalys, används termen semimetrisk rum om pseudometriska rum; dock har semimetriskt rum en annan betydelse inom topologi.

Innehåll

DefinitionRedigera

Ett pseudometriskt rum är ett par   där   är en mängd och   är en pseudometrik. Villkoren för en pseudometrik är, för  :

 
 
  (symmetri)
  (triangelolikhet)

Skillnaden mellan en metrik och en pseudometrik är alltså att för en pseudometrik implicerar inte   att  , vilket är fallet för en vanlig metrik.

ExempelRedigera

Pseudometriska rum dyker upp i funktionalanalys. Om man till exempel betraktar ett rum   och utifrån detta skapar ett nytt rum   som består av alla funktioner  . Om vi väljer ett speciellt element  , kan vi få en pseudometrik på   genom:

 .

där  .

I ett vektorrum kan man inducera en pseudometrik från en pseudonorm,   genom:

 

Metriska rum från pseudometriska rumRedigera

Man kan, utgående från ett pseudometriskt rum, bilda ett metriskt rum.

Låt (X,d) vara ett pseudometriskt rum. Definiera en ekvivalensrelation,  , på X genom:

  om  

och låt   vara mängden av ekvivalensklasser som uppstår. Definiera sedan metriken:

 

  är ett metriskt rum.

ExempelRedigera

Det viktiga exempel för den här ekvivalensrelation är  -rummet när  -normen

 

för   formar en pseudometrik

 

för  . Vi definiera  -rummet (med samma symbol) så att det har metriken   för ekvivalensklasser.

Se ävenRedigera