Primtalszetafunktionen

Inom matematiken primtalszetafunktionen en analogi av Riemanns zetafunktion som har undersökts av Glaisher 1891. Den definieras som följande oändliga serie som konvergerar för $\Re (s)>1$ :

$P(s)=\sum _{p\,\in \mathrm {\,primtal} }{\frac {1}{p^{s}}}.$

Egenskaper redigera

Av Eulerprodukten för Riemanns zetafunktion ζ(s) följer det att

\log \zeta (s)=\sum _{n>0}{\frac {P(ns)}{n}}

P(s)=\sum _{n>0}\mu (n){\frac {\log \zeta (ns)}{n}}

Då s närmar sig 1 är $P(s)\sim \log \zeta (s)\sim \log \left({\frac {1}{s-1}}\right)$ . Detta används i definitionen av Dirichletdensitet.

Om vi definierar följden

a_{n}=\prod _{p^{k}\mid n}{\frac {1}{k}}=\prod _{p^{k}\mid \mid n}{\frac {1}{k!}}

är

P(s)=\log \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.

Primtalszetafunktionen är relaterad till Artins konstant enligt

\ln C_{\mathrm {Artin} }=-\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(L_{n}-1)P(n)}{n}}

där L_n är det n-te Lucastalet.^[1]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Prime zeta function, 29 april 2014.

Merrifield, C. W. (1881). ”The Sums of the Series of Reciprocals of the Prime Numbers and of Their Powers”. Proceedings of the Royal Society 33: sid. 4–10. doi:10.1098/rspl.1881.0063.
Fröberg, Carl-Erik (1968). ”On the prime zeta function”. Nordisk Tidskr. Informationsbehandling (BIT) 8 (3): sid. 187–202. doi:10.1007/BF01933420.
Glaisher, J. W. L. (1891). ”On the Sums of Inverse Powers of the Prime Numbers”. Quart. J. Math. 25: sid. 347–362.
Mathar, Richard J. (2018). ”Twenty digits of some integrals of the prime zeta function”. doi:10.48550/arXiv.0811.4739. https://arxiv.org/abs/0811.4739.
Li, Ji (2008). ”Prime graphs and exponential composition of species”. J. Combin. Theory A 115: sid. 1374—1401. doi:10.1016/j.jcta.2008.02.008.
Mathar, Richard J. (2015). ”Table of Dirichlet L-series and prime zeta modulo functions for small moduli”. doi:10.48550/arXiv.1008.2547. https://arxiv.org/abs/1008.2547.