Positionssystem

Ett positionssystem är en typ av talsystem där talvärdet av en sifferföljd som inte bara bestäms av siffrornas tilldelade värden, utan även av deras positioner i följden. Detta skiljer sig från till exempel det romerska talsystemet, där ett tals värde fastställa genom addition och subtraktion av de olika ”siffrorna”. Det, i västvärlden, vanligaste sättet att skriva tal på, det decimala talsystemet med arabiska siffror, är ett positionssystem med basen tio.

I ett positionssystem anger varje siffra ett antal av en potens av systemets talbas, och varje position har en bestämd potens. Talets värde erhålls genom att multiplicera talets siffror med sina potenser, beroende på siffrornas inbördes position, och därefter summeras dessa produkter. När talet 12 skrivs i decimalsystemet så ligger ettan på tiotalets plats (10¹) och tvåan på entalets plats (10⁰). Dessa summeras för att få talets värde: 1×10 + 2×1 = 12.

Introduktion

Talet 3526 kan även skrivas som 3 x 1000 + 5 x 100 + 2 x 10 + 6 x 1, eller uttryckt med 10 som bas, som 3 x 10³ + 5 x 10² + 2 x 10¹ + 6 x 10⁰.

Ett heltal i 10-systemet kan alltså skrivas som $s_{n}10^{n}+s_{n-1}10^{n-1}+\dots +s_{1}10^{1}+s_{0}10^{0}$, där $0\leq s_{i}\leq 9$.

Talet 23 kan beskrivas som $23\cdot 10^{0}$, men för att varje position skall utgöras av en enda siffra, skrivs det som $2\cdot 10^{1}+3\cdot 10^{0}$. Motsvarande gäller även andra baser.

Allmänt om olika talbassystem

Hur ett tal beskrivs i bas $b$
Notation i bas $b$:	$s_{4}$	$s_{3}$	$s_{2}$	$s_{1}$	$s_{0}$
Positionsvärde:	$b^{4}$	$b^{3}$	$b^{2}$	$b^{1}$	$b^{0}$
Talets värde:	$s_{4}b^{4}+s_{3}b^{3}+s_{2}b^{2}+s_{1}b^{1}+s_{0}b^{0}$

Det som utmärker det vanliga 10-bassystem är att det är baserat på potenser av 10. På samma sätt kan andra tal användas som bas. För att generalisera konceptet, kan basen betecknas $b$. Tabellen till höger visar hur tal uttrycks i bas $b$.

För att ange vilken bas ett tal är skrivet i, skrivs basen med nedsänkt tal efter representationen. Till exempel så kan talet $513$ förtydligas genom att skriva det som $513_{10}$. Allmänt antas ett tal vara uttryckt enligt 10-systemet om det saknar basangivelse.

Siffrorna som används i en bas $b$ är alltid 0 till $b-1$, eftersom man på samma sätt som i 10-bassystemet kan växla till nästa valör; $(b+s)\cdot b^{n}$ kan skrivas om till $b^{n+1}+s\cdot b^{n}$ där $s<b$.

Om ett tal skrivs i bas $b$, så är varje siffra i det talets representation mindre än $b$.

Heltal i andra baser

Notation i bas 2:	1	1	1	0	0
Positionsvärde:	$2^{4}$	$2^{3}$	$2^{2}$	$2^{1}$	$2^{0}$
Talets värde:	16+8+4+0+0

Ett annat exempel är talet $11100_{2}$. Om "växlingstabellen" används så ser man att detta representerar talet $1\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{0}=16+8+4=28$. $11100_{2}$ är alltså talet $28_{10}$.

I högre baser än 10 uppstår ett problem. Låt oss titta på $122_{13}$. Är det $12\cdot 13^{1}+2\cdot 13^{0}=161$, eller är det $1\cdot 13^{2}+2\cdot 13^{1}+2\cdot 13^{0}=197$? För att beteckna tal i en högre bas än 10, så måste vi alltså kunna skriva fler än en (arabisk) siffra i varje position, eller hitta en annan lösning. Det vi kan göra är att gruppera siffrorna tydligare. $[12,2]_{13}$ är då representationen av $161$ i bas 13. $[1,2,2]_{13}$ är då representationen för talet 197.

Ett annat alternativ är att utöka de första 10 (arabiska) siffrorna (0-9) med bokstäver. Som exempel skulle $A=10$, $B=11$, $C=12$, $D=13$, $E=14$ och $F=15$. $[13,15]_{16}$ då bli $CF_{16}$. Detta skrivsätt används ofta inom IT-världen, speciellt inom programmering. Då datorn internt arbetar i bas 2 (d.v.s. ”nollor och ettor”, s.k. ”binära tal”) har talen på detta skrivsätt relativt många positioner: 255₁₀ = 11111111₂. En manuell omvandling till decimaltal kan förenklas genom att gruppera de binära siffrorna (0,1) i grupper om fyra, och därmed reducera antalet positioner från åtta till två. Problemet är att 1111₂ = $1\cdot 8+1\cdot 4+1\cdot 2+1\cdot 1$= 15₁₀, alltså 2 siffror, medan talet i basen, 16, kan reresenteras med en enda siffra, F₁₆ (=15₁₀ enligt ovan). 11111111₂ vore då FF₁₆. På detta sätt kan man relativt lätt manuellt omvandla mellan dessa två talsystem utan komplicerade beräkningar.

Exempel 1: Konvertering av tal till basen 10

Skriv talet $6342_{7}$ i basen 10

Vi skriver upp talet enligt mallen och vi beräknar ganska enkelt vad talet blir i basen 10.

Notation i bas 7:	6	3	4	2
Positionsvärde:	$7^{3}$	$7^{2}$	$7^{1}$	$7^{0}$
Talets värde:	$6\cdot 7^{3}+3\cdot 7^{2}+4\cdot 7^{1}+2\cdot 7^{0}$

$6342_{7}$ är då $6\cdot 7^{3}+3\cdot 7^{2}+4\cdot 7^{1}+2\cdot 7^{0}=2235$.

Skriv talet $[14,2,70]_{81}$ i bas 10

Vi använder växlingstabellen och skriver upp

Notation i bas 81:	14	2	70
Positionsvärde:	$81^{2}$	$81^{1}$	$81^{0}$
Talets värde:	$14\cdot 81^{2}+2\cdot 81^{1}+70\cdot 81^{0}$

Vi får då att talet är $14\cdot 6561+2\cdot 81+70\cdot 1=92086$.

Exempel 2: Konvertering av tal från basen 10

Skriv talet $154_{10}$ i basen 16

Vi tänker oss att vi har 154 enkronor på bordet framför oss, och vill växla till mynt med valörerna $\{16^{0},16^{1},16^{2},\dots \}=\{1,16,256,\dots \}$. Vi ser 256-mynten är för stora, så det räcker med 16-mynten och 1-mynten. Hur många 16-mynt kan vi då tänkas behöva?

Jo, ${\frac {154}{16}}=9+{\frac {10}{16}}$ så 154 räcker till 9 hela 16-kronorsmynt. De resterande mynten får då vara kvar som enkronor. Alltså kan vi växla 154 enkronor till $9\cdot 16^{1}+10\cdot 16^{0}=[9,10]$.

Skriv talet $1632_{10}$ i bas 3?

Vi har 1632 enkronor, och vill växla dessa till mynt i valörerna $3^{0},3^{1},3^{2},\dots =1,3,9,27,81,243,729,2187\dots$

Samma princip som ovan ger oss då att

$1632=2\cdot 729+174$ (vi växlar först 1458 mynt till 2 stycken 729-sedlar).

Fortsätter vi nu växla mynt, så får vi då

$1632=2\cdot 3^{6}+2\cdot 81+12$

$1632=2\cdot 3^{6}+2\cdot 3^{4}+1\cdot 9+3$

$1632=2\cdot 3^{6}+2\cdot 3^{4}+1\cdot 3^{2}+1\cdot 3^{1}$

Skriver vi då det som en summa av alla mynttyper så får vi $2\cdot 3^{6}+0\cdot 3^{5}+2\cdot 3^{4}+0\cdot 3^{3}+1\cdot 3^{2}+1\cdot 3^{1}+0\cdot 3^{0}$.

Läser vi nu av antalet mynt av varje sort får vi $2020110_{3}$. Alltså gäller $1632_{10}=2020110_{3}$

Decimaltal i andra baser

Hittills har vi bara tittat på hur heltal blir i andra baser. Nu skall vi behandla även icke-heltal. Det fungerar på precis samma sätt som när vi hade 10-öresmynt och 1-öresmynt, (som motsvarar $10^{-1}$-kronorsmynt och $10^{-2}$-kronorsmynt).

I dessa fall är det inte ovanligt att man får en oändlig decimalutveckling, vilket vi skall se i följande exempel:

Exempel 1: Decimaltal till basen 3

Skriv talet 1,5₁₀ i basen 3.

De valörer vi skall växla till den här nu är $\{3^{0},3^{-1},3^{-2},\dots \}=\{1,{\frac {1}{3}},{\frac {1}{9}},\dots \}$.

Vi kan då säga att vi har två högar, en med mynt i bas 10, och en med mynt i bas 3. Genom att successivt växla från den ena högen till den andra genom att flytta största möjliga valör så får vi följande:

Antal i bas 10	Antal i bas 3
$\displaystyle {1,5={\frac {3}{2}}}$	$0$
$\displaystyle {{\frac {3}{2}}-1\cdot {\frac {1}{3^{0}}}={\frac {1}{2}}}$	$\displaystyle {3^{0}}$
$\displaystyle {{\frac {1}{2}}-1\cdot {\frac {1}{3^{1}}}={\frac {1}{6}}}$	$\displaystyle {3^{0}+3^{-1}}$
$\displaystyle {{\frac {1}{6}}-1\cdot {\frac {1}{3^{2}}}={\frac {1}{18}}}$	$\displaystyle {3^{0}+3^{-1}+3^{-2}}$
$\displaystyle {{\frac {1}{18}}-1\cdot {\frac {1}{3^{3}}}={\frac {1}{54}}}$	$\displaystyle {3^{0}+3^{-1}+3^{-2}+3^{-3}}$
$\dots$	$\dots$

Fortsätter vi oändligt länge, så ser vi att 1,5₁₀ = 1,11111111...₃. Talet 1,5 har alltså oändlig decimalutveckling i bas 3.

Exempel 2: Decimaltal till basen 4

Skriv talet $12,5_{10}$ i basen 4.

Vi gör på samma sätt som i förra exemplet:

Antal i bas 10	Antal i bas 4
$12,5$	$0$
$12,5-3\cdot 4=0,5$	$3\cdot 4$
$0,5-2\cdot {\frac {1}{4}}=0$	$3\cdot 4+2\cdot {\frac {1}{4}}$

Här tog det slut mycket snabbare och vi konstaterar att $12,5_{10}=\mathbf {3} \cdot 4^{1}+\mathbf {0} \cdot 4^{0}+\mathbf {2} \cdot 4^{-1}=30,2_{4}$

Räkneoperationer i andra baser

Man kan utföra de vanliga räknesätten i andra positionssystem precis som i basen 10.

Exempel 1: Att addera två tal i en annan bas

Utför additionen $121,\!2_{3}+102_{3}$.

Vi adderar siffrorna var för sig precis som med vanlig addition, med undantaget att $1_{3}+1_{3}+1_{3}=10_{3}$.

Värde	$3^{3}$	$3^{2}$	$3^{1}$	$3^{0}$	$3^{-1}$
Minne	1	1	1
Tal 1		1	2	1,	2
Tal 2		1	0	2,	0
Summa	1	0	0	0,	2

Svaret blir alltså $1000,\!2_{3}$.

Exempel 2: Subtrahera två tal i en annan bas

Beräkna $[3,0,12,5]_{14}-[1,9,1,4]_{14}$

Här ställer vi upp en tabell som med vanlig subtraktion, och som vanligt så får man "låna" från nästa siffra om man måste dra ett större tal från ett mindre.

(Att dra 11 enkronor från 1 enkrona och 3 stycken 14-kronor löses ju genom att man växlar en 14-krona till enkronor, och på liknande sätt för större valörer givetvis.)

Värde	$14^{3}$	$14^{2}$	$14^{1}$	$14^{0}$
Minne		14
Tal 1	$3\!\!\!\!\backslash$	0	12	5
Tal 2	1	9	1	4
Differens	1	5	11	1

Så svaret blir $[1,5,11,1]_{14}$.

Exempel 3: Multiplicera två tal i en annan bas

Utför multiplikationen talen $1021_{3}\cdot 122_{3}$

Vi ställer upp för multiplikation:

Värde		$3^{6}$	$3^{5}$	$3^{4}$	$3^{3}$	$3^{2}$	$3^{1}$	$3^{0}$
					1	0	2	1
				$\cdot$		1	2	2
$\mathbf {2_{3}\cdot 1021_{3}}$					2	1	1	2
$\mathbf {2_{3}\cdot 1021_{3}}$				2	1	1	2
$\mathbf {1_{3}\cdot 1021_{3}}$		+	1	0	2	1

Nu måste vi ju utföra additionen så det gör vi extra tydligt här med minnessiffror. Kom ihåg att $1_{3}+2_{3}=10_{3}$.

Minne			1	2	1	1
					2	1	1	2
				2	1	1	2	0
		+	1	0	2	1	0	0
Summa			2	1	0	1	0	2

Alltså gäller det att $1021_{3}\cdot 122_{3}=210102_{3}$

Källor

Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.