Öppna huvudmenyn

Inom matematiken är en operatornorm ett sätt att tilldela en "storlek" till vissa linjära operatorer. Operatornormen kan ses som den maximala förlängningen av en vektor som en linjär avbildning kan göra.

Innehåll

Bakgrund och definitionRedigera

En linjär operator   (där   och   är normerade rum) sägs vara begränsad om det finns ett positivt reellt tal   så att

 

för alla  . För att visa att en linjär operator är begränsad kan man hitta ett   så att

 .

För alla  , med andra ord ett supremum. Detta supremum är operatornormen för  , betecknad  , alltså

 .

Operatornormen kan även uttryckas som

 

vilket kommer av att   är en linjär avbildning.

EgenskaperRedigera

Operatornormen uppfyller de vanliga kraven för normer:

  •   och   omm   är en nollavbildning.
  •  
  •  

Man kan även se att:

 

ExempelRedigera

EnhetsavbildningRedigera

En enhetsavbildning   där   är begränsad och har norm  .

MatriserRedigera

En reell matris   med format   kan ses som en linjär avbildning  .   är begränsad och flera normer kan införas, se matrisnorm.