En normal delgrupp är inom den abstrakta algebran en särskild sorts delgrupp, som är av fundamental betydelse vid konstruktionen av kvotgrupper. En delgrupp N till en grupp G, kallas för en normal delgrupp om den är invariant under varje inre automorfi på G, det vill säga om avbildningen g-1Ng = N för alla element g i G. Matematikern Évariste Galois var den förste, som insåg betydelsen av att skilja på vanliga och normala delgrupper.

Definition

redigera

Om G är en grupp och N en delgrupp till G, så är N en normal delgrupp till G om N är invariant under konjugering. Detta kan även uttryckas enligt följande: N är normal, om för alla h i N och alla g i G,   är ett element i N.

Att N är en normal delgrupp till G skrivs oftast   eller  .

Följande tre alternativa definitioner av normal delgrupp är ekvivalenta[särskiljning behövs]:

  • N är en normal delgrupp i G om  
  • N är en normal delgrupp i G om gN = Ng, det vill säga om N:s vänstersidoklasser och högersidoklasser sammanfaller.
  • N är en normal delgrupp i G om det existerar en homomorfiG vars kärna är N.

En normal delgrupp M säges vara en maximal normal delgrupp i G om M ≠ G och det inte finns någon normal delgrupp N i G sådan att  .

Exempel

redigera

Egenskaper

redigera
  • Kärnan till en grupphomomorfi f : G → H är en normal delgrupp av G.
  • Normalitet bevaras av surjektiva homomorfier.
  • Om N är normal i G och F är en delgrupp i G sådan att N≤F≤G, så är N normal i F.
  • Normalitet är inte en transitiv relation, en normal delgrupp till en normal delgrupp till G behöver inte vara normal i G.
  • Om en delgrupp N till G är normal kan man bilda kvotgruppen  , ty man kan definiera multiplikation av sidoklasser enligt:
 
  •   är maximal om och endast om   är enkel.

Källor

redigera
  • B.L. van der Waerden, Algebra, Springer Verlag 1950.
  • I.N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell 1964.