Öppna huvudmenyn

DefinitionerRedigera

Om   är ett vektorrum över kroppen   är en funktional   en avbildning sådan att:

 

  säges vara en linjär funktional om den är en linjär avbildning, d.v.s. följande gäller:

 

En sublinjär funktional är en funktional   som uppfyller:

 

  säges vara en begränsad linjär funktional om den är linjär och följande olikhet är uppfylld:

 

för något positivt reellt tal   och alla  , då man kan definiera en operatornorm av  , som är:

 

Dualrum och representationerRedigera

Alla linjära begränsade funktionaler för ett vektorrum bildar det så kallade dualrummet för vektorrummet. Rummet som består av alla linjära funktionaler kallas för algebraiska dualen för vektorrummet.

Om vektorrummet är ett Hilbertrum med inre produkten   kan, enligt Riesz representationssats, varje funktional f i dualrummet representeras av ett (fixt) element   i Hilbertrummet, så att:

 

och f och   får samma norm:

 

ExempelRedigera

NormerRedigera

Normen på ett vektorrum är en funktional. Den är dock ej linjär, men sublinjär.

SkalärproduktenRedigera

Den vanliga skalärprodukten på ett inre produktrum med en av vektorerna konstant är en linjär begränsad funktional.

DeterminanterRedigera

Determinanten för alla kvadratiska matriser av storlek   är en funktional på rummet av alla matriser av storlek  .

IntegralerRedigera

En integral på ett intervall   kan ses som en linjär funktional  funktionsrummet av alla kontinuerliga envariabelfunktioner, betecknat  , dvs:

 

  är alltså ett element i  .   är en linjär begränsad funktional med operatornorm:

 

Vilket kan inses om vi använder följande norm på  :

 

Vi kan alltså skriva:

 

Detta ger (med operatornormsdefinitionen ovan):

 

För operatornormer gäller att:   så att:

 

Om vi väljer  , så att   får vi med ovanstående formel att:

 

Så att   och alltså måste  .

Se ävenRedigera