LU-faktorisering

Inom linjär algebra är LU-faktorisering, ibland kallad LR-faktorisering, en matrisfaktorisering där en matris delas upp i en övertriangulär matris (om ursprungsmatrisen är kvadratisk) och en undertriangulär matris. LU-faktorisering används bland annat för att lösa linjära ekvationsystem med samma vänsterled.

Definition

För en matris $A$ är LU-faktoriseringen

$A=LU$

Om $A$ är kvadratisk är även $L$ (som blir en undertriangulär matris) och $U$ (som blir en övertriangulär matris) kvadratiska. Om $A$ inte är kvadratisk blir inte $U$ kvadratisk (och då inte heller triangulär), men $L$ blir kvadratisk och triangulär.

Ibland används en permutationsmatris $P$ för att undvika fel på grund av den numeriska metoden, vilket kallas (partiell) pivotering. Matrisen skrivs då om på formen $PA=LR$

Beräkning

Med elementära matriser

Genom multiplikation med elementära matriser för radoperationer kan den kvadratiska matrisen $A$ omvandlas till en övertriangulär matris $U$ (i likhet med Gausselimination):

$E_{n}...E_{2}E_{1}A=U\,$

där $E_{k}$ är en elementär matris, vilket ger

$A=(E_{n}...E_{2}E_{1})^{-1}U\quad \Rightarrow \quad A=E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}...E_{n}^{-1}U$

Då inverser till elementära matriser är lättberäknade (se artikeln om elementära matriser) och alla $E_{k}$ kan uttryckas som undertriangulära matriser (och då även deras inverser), blir produkten av alla $E_{k}$ en undertriangulär matris. Således kan $A$ representeras av produkten av en över- och en undertriangulär matris.

Exempel

LU-faktorisering av

$A={\begin{pmatrix}1&-1&3\\1&1&7\\-2&2&-1\end{pmatrix}}$

Genom gausselimination framgår att en övertriangulär matris $U$ kan fås genom radadditioner:

$U={\begin{pmatrix}1&-1&3\\0&2&4\\0&0&5\end{pmatrix}}$

Dessa radoperationer kan beskrivas som

1. Subtrahera rad 1 från rad 2
2. Addera rad 1 två gånger till rad 3

där radoperationerna kan representeras av elementära matriser enligt

$E_{1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad E_{2}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\2&0&1\end{pmatrix}}$

vilka har Inverserna

$E_{1}^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad E_{2}^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-2&0&1\end{pmatrix}}$

Observera hur enkel inversberäkningen är. Det är bara att byta tecken på det nollskilda talet utanför diagonalen. $L$ kan nu beräknas:

$L=E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-2&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\-2&0&1\end{pmatrix}}$

Observera att ordningen på matriserna kastas om vid inverteringen,

$(E_{2}E_{1})^{-1}=E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}$.

Därmed är A LU-faktoriserad:

$A=LU={\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\-2&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-1&3\\0&2&4\\0&0&5\end{pmatrix}}$

Tillämpningar

Ekvationssystemlösning

För en samling ekvationssystem $A\mathbf {x_{k}} =\mathbf {b_{k}}$ för vilka A är konstant men $\mathbf {b_{k}}$ varierar, lönar det sig att LU-faktorisera A, då ekvationssystemet kan lösas för en av de triangulära matriserna i taget. Först löses ekvationssystemet $L\mathbf {y} =\mathbf {b_{k}}$ och sedan ekvationssystemet $U\mathbf {x_{k}} =\mathbf {y}$. Båda dessa ekvationssystem är lätta att lösa då vänsterleden representeras av triangulära matriser.

Inversberäkning

Då $A=LU$ är $A^{-1}=U^{-1}L^{-1}$. En triangulär matris är lättare att invertera än en icke-triangulär, varför det är lättare att beräkna inversen genom LU-faktorisering. Datorprogram beräknar ofta matrisinverser genom LU-faktorisering.

Determinantberäkning

Determinantberäkning är enkelt för en LU-faktoriserad matris, då determinanten för en triangulär matris är produkten av diagonalelementen och

$\det {A}=\det {L}\det {U}\,$

Om $L$ dessutom endast har ettor i diagonalen (som den ofta har, se till exempel beräkningsexemplet ovan), får vi att

$\det {A}=\det {U}=\prod _{i=1}^{n}u_{ii}$

Se även

• Matrisfaktorisering