Kvadratiskt medelvärde är ett statistiskt mätetal för variationerna hos en storhets belopp.[1] Kvadratiskt medelvärde är särskilt användbart om storhetens värden är både positiva och negativa, som till exempel för sinusformade förlopp. Det kvadratiska medelvärdet kan ses som ett generaliserat medelvärde med p = 2.

Den engelska beteckningen för kvadratiskt medelvärde är root mean square eller RMS. Inom elektrotekniken kallas det kvadratiska medelvärdet av en växelström eller växelspänning för växelstorhetens effektivvärde.

DefinitionRedigera

Kvadratiska medelvärdet för en uppsättning värden (eller en tidskontinuerligt varierande vågform) är kvadratroten ur det aritmetiska medelvärdet av kvadraten på dessa värden (eller kvadraten på den funktion som definierar den kontinuerliga vågformen).

I fallet med en mängd av   diskreta värden   ges kvadratiska medelvärdet av

 

I fallet när vågformen beskrivs av en kontinuerlig funktion   definierad på intervallet   beräknas kvadratiska medelvärdet som

 

och kvadratiska medelvärdet för en funktion över ett oändligt intervall beräknas som

 

Kvadratiska medelvärdet över ett oändligt intervall är för en periodisk funktion lika med kvadratiska medelvärdet för en period av funktionen.

ExempelRedigera

En sinusvåg beskrivs av

 

där   är amplituden och   är tiden och   vinkelfrekvensen i radianer per tidsenhet.

 

kan kvadratiska medelvärdet skrivas

 

Med hjälp av likheten

 

kan kvadratiska medelvärdet beräknas till

 

Kvadratiskt medelvärde för olika vågformerRedigera

Vågform Ekvation Illustration Kvadratiskt
medelvärde
Konstant      
Sinus      
Fyrkant      
Triangel      
Sågtand      
  är amplituden,   är frekvensen,   är tiden och   är decimaldelen av  , d.v.s  

Summering av kvadratiska medelvärdenRedigera

Vågformer som bildats genom summering av vågformer, har ett RMS-värde som är roten ur summan av kvadraterna av komponenternas RMS-värden om de ingående vågformerna är ortogonala (det vill säga, om den genomsnittliga produkten av en av de ingående vågformerna med en annan är noll för alla par andra än en vågform multiplicerad med sig själv):

 

Exempelvis är vågformerna för sinus- och cosinusfunktionen ortogonala då

 

och RMS-värdet för vågformernas summa blir

 

TillämpningarRedigera

 
Effektutvecklingen för en sinusformad ström och spänning i en resistor. Momentaneffektens medeleffekt kan beräknas som  

Inom fysik och elektroteknik används det kvadratiska medelvärdet för effektberäkningar av svängande system som till exempel elektriska svängningskretsar, akustiska vågor, ledningsresonatorer och hålrumsresonatorer. Villkoret för det kvadratiska medelvärdets användbarhet för effektberäkningar är att det svängande systemets momentaneffekt är proportionell mot kvadraten på systemets momentanvärde.

För till exempel beräkning av vilken effektutveckling en periodisk växelström orsakar i en resistor med resistansen R, kan växelströmmen representeras av en konstant enligt

 

där   är växelströmmens RMS-värde vilket kan tolkas som värdet av den likström som i genomsnitt ger samma effektutveckling som växelströmmen. Genom att använda växelströmmens RMS-värde kan således effektproblemet behandlas som ett likströmsproblem.

Om det kvadratiska medelvärdet av den periodiskt varierande spänningen över R är  , vilket kan tolkas som värdet av den likspänning som ger samma genomsnittsliga effektutveckling i R som den periodiska växelspänningen, kan effekten också beräknas som

 

eller

 

Jämförelse med andra medelvärdenRedigera

 
Geometrisk jämförelse av medelvärden

Medelvärden av två tal, a och b, kan konstrueras geometriskt med hjälp av en halvcirkel med diametern a + b.

A: Aritmetiska medelvärdet
Q: Kvadratiska medelvärdet
H: Harmoniska medelvärdet
G: Geometriska medelvärdet

Det framgår att

 

Denna ordning gäller även för ett godtyckligt antal tal.

Se ävenRedigera

ReferenserRedigera

NoterRedigera