Kroneckerprodukt är en matematisk operation på två matriser, vilket resulterar i en ny, större, matris som enklast uttrycks som en blockmatris. Operationen är uppkallad efter Leopold Kronecker.

DefinitionRedigera

Om A är en m × n-matris och B är en p × q-matris så är deras kroneckerprodukt en mp × nq-matris definierad av:

 

ExempelRedigera

Låt A och B vara definierade enligt:

 

Deras kroneckerprodukter blir:

 
 

EgenskaperRedigera

Kroneckerprodukten har egenskaperna

 
 
 
 
  om AC och BD är definierade.
 

EgenvärdenRedigera

Om   för i = 1, 2, ..., n är egenvärden till A och   för j = 1, 2, ..., q är egenvärden till B så är   ett egenvärde till deras kroneckerprodukter för alla kombinationer av i och j och alla egenvärden till kroneckerprodukterna uppkommer på detta sätt.

Ur detta kan man få ekvationer för matrisspåren och determinanterna för kroneckerprodukterna:

 
 

KroneckersummaRedigera

En kroneckersumma av två kvadratiska matriser A och B (n × n respektive m × m) är matrisen definierad av

 

Kroneckersummans egenvärden är på formen  .

MatrisekvationerRedigera

Kroneckerprodukter kan användas för att lösa matrisekvationer av typen AxB = C, då man kan få en lösning genom

 

som löses som ett vanligt ekvationssystem. vec C är vektoriseringen av matrisen C, C:s kolonner staplade ovanpå varandra i en vektor.

Kroneckersummor används vid lösningen av Sylvesters ekvation, AX + XB = C, då en lösning ges av:

 

ReferenserRedigera

  • Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1991), Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 0-521-46713-6 .