Involution (matematik)

Inom matematiken är en involution, en bijektiv funktion som är sin egen invers:

En involution är en funktion f(x), som tillämpad på sig själv, f(f(x)), avbildar på det ursprungliga elementet

$f(f(x))=x$,

eller alternativt

$f^{-1}=f$.

Exempel

Reella tal

Involutioner är, utöver den identiska avbildningen f(x) = x, avbildningarna

$\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto -x$

och

$\mathbb {R} \to \mathbb {R} \quad x\mapsto {\frac {1}{x}}$

eftersom

$-(-x)=x$ för alla $x\in \mathbb {R}$

och

${\frac {1}{1/x}}=x$ för alla $x\neq 0$.

Komplexa tal

Komplexkonjugering av ett tal är en involution:

$z=a+b\mathrm {i}$ där $a,b\in \mathbb {R}$ avbildas vid komplexkojugering på talet:

${\bar {z}}=z^{*}=a-b\mathrm {i} .$

Vid ytterligare en komplexkonjugering fås

${\overline {\overline {z}}}=z^{**}=a+b\mathrm {i} =z$

Involutioner i gruppteori

Ett element a i en grupp G kallas en involution om a² = e, där e är gruppens neutrala element. Om alla a, som tillhör G är involutioner, så är gruppen abelsk. En grupp vars alla element är involutioner är Kleins fyrgrupp.

Om G är en abelsk grupp, så är avbildningen

$g\mapsto g^{-1}$

en involution och en gruppautomorfi. Om G inte är abelsk, så är denna avbildning en involution, men inte en gruppautomorfi.

Generellt är varje inre automorfi på en grupp G en involution.

Linjär algebra

En matris A kallas involutiv om A² = I, där I är enhetsmatrisen. En involutiv matris kan i det två- och tredimensionella rummet konkret tolkas som en spegling av rummets punkter i en linje respektive i ett plan. Det finns ett enkelt samband mellan involutiva och idempotenta avbildningsmatriser. Om B är idempotent, så är A = 2B - I involutiv. B kan tolkas som en projektion. Exempel:

I det tvådimensionella rummet är

$\ B={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$ en projektion på x-axeln och

$\ A=2\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ en spegling av rummets punkter i samma axel.

Andra involutiva matriser är Paulis spinnmatriser.

Källor

• I. N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Company, Waltham 1964.
• B. L. van der Waerden, Algebra, Springer-Verlag, Heidelberg 1950.
• Karl-Johan Bäckström, Diskret matematik, Studentlitteratur, Lund 1986.
• David C. Lay, Linear Algebra and its Applications, Addison-Wesley, New York 1996.