Involution (matematik)

matematisk term

Inom matematiken är en involution, en bijektiv funktion som är sin egen invers:

En involution är en funktion f(x), som tillämpad på sig själv, f(f(x)), avbildar på det ursprungliga elementet
,

eller alternativt

.

ExempelRedigera

Reella talRedigera

Involutioner är, utöver den identiska avbildningen f(x) = x, avbildningarna

 

och

 

eftersom

  för alla  

och

  för alla  .

Komplexa talRedigera

Komplexkonjugering av ett tal är en involution:

  där   avbildas vid komplexkojugering på talet:
 

Vid ytterligare en komplexkonjugering fås

 

Involutioner i gruppteoriRedigera

Ett element a i en grupp G kallas en involution om a2 = e, där e är gruppens neutrala element. Om alla a, som tillhör G är involutioner, så är gruppen abelsk. En grupp vars alla element är involutioner är Kleins fyrgrupp.

Om G är en abelsk grupp, så är avbildningen

 

en involution och en gruppautomorfi. Om G inte är abelsk, så är denna avbildning en involution, men inte en grupputomorfi.

Generellt är varje inre automorfi på en grupp G en involution.

Linjär algebraRedigera

En matris A kallas involutiv om A2 = I, där I är enhetsmatrisen. En involutiv matris kan i det två- och tredimensionella rummet konkret tolkas som en spegling av rummets punkter i en linje respektive i ett plan. Det finns ett enkelt samband mellan involutiva och idempotenta avbildningsmatriser. Om B är idempotent, så är A = 2B - I involutiv. B kan tolkas som en projektion. Exempel:

I det tvådimensionella rummet är

  en projektion på x-axeln och
  en spegling av rummets punkter i samma axel.

Andra involutiva matriser är Paulis spinnmatriser.

KällorRedigera

  • I. N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Company, Waltham 1964.
  • B. L. van der Waerden, Algebra, Springer-Verlag, Heidelberg 1950.
  • Karl-Johan Bäckström, Diskret matematik, Studentlitteratur, Lund 1986.
  • David C. Lay, Linear Algebra and its Applications, Addison-Wesley, New York 1996.