Den implicita funktionssatsen är ett verktyg inom flervariabelanalys som i stor utsträckning handlar om att ge en konkret parameterframställning åt implicit definierade kurvor och ytor. Satsen är nära besläktad med den inversa funktionssatsen och är en av den moderna matematikens viktigaste och äldsta paradigm. Ursprunget till idén för den implicita funktionssatsen finns i skrifter av Isaac Newton (1642-1727) och Joseph Louis Lagrange (1763-1813) tog fram en sats som i grund och botten är en version av den implicita funktionssatsen. Dock var det Augustin Louis Cauchy (1789-1857) som först närmade sig den implicita funktionssatsen strikt matematisk och är allmänt erkänd som satsens upptäckare. Satsen formulerades först med termer från komplex analys och komplexa potensserier men har med tiden utvecklats. Med växande intresse och djupare förståelse för reell analys så växte en ny form av satsen fram med reella variabler. Denna version generaliserades slutligen av Ulisse Dini (1845-1918) till att gälla för funktioner av godtyckligt antal variabler.

Inledande exempelRedigera

Nivåkurvan

 

utgör inte en funktionsgraf då det för varje x större än -1 och mindre än 1 svarar två olika y-värden. I de allra flesta fall kan dock x2 + y2 = 1 lokalt tolkas som en kurva av formen y = f(x). Om (a, b) är en punkt på kurvan x2 + y2 = 1 och finns i området där y är större än noll och definitionsmängden för kurvan inskränks till en omgivning kring (a, b) så blir

 

y är mindre än noll och (a, b) är en punkt i detta område samt kurvans definitionsmängd inskränkts till en omgivning kring (a, b) definierar F(x, y) = 1 på likartat sätt funktionssambandet

 

Notera att det inte finns några omgivningar kring punkterna (-1, 0) och (1, 0) som definierar en funktion y = f(x).

Den implicita funktionssatsenRedigera

Låt F(x, y) vara en reellvärd C1-funktion definierad i en omgivning kring punkten (a, b).

Vi antar att F(x, y) uppfyller de båda villkoren

 

Då gäller:

  • Det finns en öppen omgivning U kring (a, b) och en entydigt bestämd C1-funktion, y = f(x), som uppfyller
     
    och som implicit definieras av restriktionen av nivåkurvan till  .
  • Derivatan för denna funktion blir
     

AnmärkningarRedigera

Konstanten C kan ersättas med 0 utan förlust av generalitet eftersom

 

Notera även att om F’x(a, b) ≠ 0 kan rollerna för x och y bytas. Då definierar ekvationen F(x, y) = C på motsvarande sätt en funktion x = g(y) i en omgivning av punkten (a, b).

Fler än två variablerRedigera

Det finns även en motsvarighet för funktioner av fler än två variabler. För funktionen F(x,y,z) är villkoret F’z(a, b, c) ≠ 0 tillräckligt för att man lokalt kring (a, b, c) skall kunna anse att sambandet

 

är en funktionsyta

 

med partiella derivator

 

BevisRedigera

Då matematiker fick bättre och bättre förståelse för den implicita funktionssatsen framkom det alternativa bevis samt en mängd generaliseringar av satsen. Bevis kan till exempel utföras genom utnyttjande av den inversa funktionssatsen.

ExempelRedigera

Betrakta nivåkurvan y5 + xy - 4 = 0 och punkten (3, 1). Då

 

finns det enligt satsen en kontinuerlig och deriverbar funktion i en öppen omgivning av (3, 1) sådan att y = f(x). Derivatan av denna funktion är

 

Speciellt

 

ReferenserRedigera

  • Persson, Arne; Lars-Christer Böiers: Analys i flera variabler, Studentlitteratur, 2005, sid. 146-151. ISBN 978-91-4403869-8.
  • Krantz, Steven G; Harold R. Parks: The Implicit Function Theorem: History, Theory, and Application, Birkhauser Boston 2002. ISBN 978-08-1764285-3