Inversa funktionssatsen är en matematisk sats inom differentialkalkyl. Satsen ger tillräckliga villkor för att en funktion ska vara inverterbar i en omgivning till en given punkt och en formel för beräkning av derivatan av den inversa funktionen.

Inversa funktionssatsenRedigera

EnvariabelanalysRedigera

Om f är kontinuerligt deriverbar med nollskild derivata i punkten a så är f inverterbar i en omgivning till a. Om   kan derivatan av   beräknas i punkten b genom:

 

FlervariabelanalysRedigera

Låt   vara en kontinuerligt deriverbar avbildning. Om   är en punkt så att Jacobideterminanten är nollskilld i  

 

så finns det omgivningar U och V kring   respektive   så att avbildningen   är bijektiv och inversen   är kontinuerligt deriverbar.

Om   så kan Jacobimatrisen till   kan beräknas med

 

BevisRedigera

Det finns många bevis för inversa funktionssatsen. Det enklaste bygger på satsen om största och minsta värde. Ett generellare bevis bygger på Banachs fixpunktssats, som även kan användas till att bevisa en generalisering av satsen som gäller i oändlighetsdimensionella vektorrum.

ExempelRedigera

Betrakta   definierad av

 

Jacobimatrisen blir   så att determinaten är

 

  är nollskild för alla reella x ger inversa funktionssatsen att varje   har en omgivning där funktionen är inverterbar.

Se ävenRedigera

ReferenserRedigera

  • Forsling, Göran; Mats Neymark (2004). Matematisk analys i en variabel. Liber. sid. 192. ISBN 91-47-05188-4 
  • Persson, Arne; Lars-Christer Böiers (2005). Analys i flera variabler. Studentlitteratur. ISBN 91-44-03869-0