Inom matematiken, speciellt inom algebraisk topologi, är Hopfinvarianten, uppkallad efter Heinz Hopf, en homotopiinvariant av vissa avbildningar mellan sfärer.

DefinitionRedigera

Låt   vara en kontinuerlig funktion (anta att  ). Då kan vi bilda cellkomplexet

 

där   är en  -dimensionell disk associerad till   via  . De cellulära kedjegrupperna   är fritt genererade på  -celler i grad  , så de är lika med   i grad 0,   och   och noll annars. Cellulär (ko-)homologi är (ko-)homologin av detta kedjekomplex, och eftersom alla randhomomorfier måste vara noll (kom ihåg att  ), är kohomolgin

 

Beteckna generatorerna av kohomologigrupperna med

  and  

För dimensionella orsaker måste alla kupprodukter mellan dessa klasser vara triviala utom  . Följaktligen, som en ring, är kohomologin

 

Heltalet   är Hopfinvarianten av avbildningen  .

KällorRedigera

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Hopf invariant, 5 januari 2015.