Giugatal

Giugatal är ett sammansatt tal n sådant att för varje av dess distinkta primtalsfaktorer p_i har vi $p_{i}|({n \over p_{i}}-1)$, eller ekvivalent, $p_{i}^{2}|(n-p_{i})$.

Giugatal är uppkallade efter matematikern Giuseppe Giuga, och avser hans förmodan om primtal.

Definitioner

En alternativ definition av Giugatal av Takashi Agoh är: ett sammansatt tal n är ett Giugatal om och endast om kongruensen

$nB_{\varphi (n)}\equiv -1{\pmod {n}}$

gäller, där B är ett Bernoullital och $\varphi (n)$ är Eulers fi-funktion.

En ekvivalent formulering av Giuseppe Giuga är: ett sammansatt tal n är ett Giugatal om och endast om kongruensen

$\sum _{i=1}^{n-1}i^{\varphi (n)}\equiv -1{\pmod {n}}$

och om och endast om

$\sum _{p|n}{\frac {1}{p}}-\prod _{p|n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {N} .$

Alla kända Giugatal n uppfyller även förhållandet

$\sum _{p|n}{\frac {1}{p}}-\prod _{p|n}{\frac {1}{p}}=1.$

Exempel

De första Giugatalen är:

30, 858, 1722, 66198, 2214408306, 24423128562, 432749205173838, 14737133470010574, 550843391309130318, 244197000982499715087866346, 554079914617070801288578559178, 1910667181420507984555759916338506, … (talföljd A007850 i OEIS)

Till exempel är 30 ett Giugatal då dess primtalsfaktorer är 2, 3 och 5, och vi kan verifiera att

• 30/2 − 1 = 14, vilket är delbart med 2
• 30/3 − 1 = 9, som är 3 i kvadrat
• 30/5 − 1 = 5, den tredje största primtalsfaktorn i sig

Egenskaper

Primtalsfaktorerna för ett Giugatal måste vara distinkta. Om $p^{2}$ delar $n$, då framgår det att ${n \over p}-1=n'-1$ där $n'$ är delbart med $p$. Därför skulle $n'-1$ inte vara jämnt delbart med $p$, och således skulle $n$ inte vara ett Giugatal.

Således är det endast kvadratfria tal som kan vara Giugatal. Exempelvis är faktorerna av 60 är 2, 2, 3 och 5, och 60/2 - 1 = 29, vilket inte är delbart med 2. Således är 60 inte ett Giugatal.

Detta utesluter kvadrater av primtal, men semiprimtal kan inte vara Giugatal heller. Ty om $n=p_{1}p_{2}$, med $p_{1}<p_{2}$ primtal så är ${n \over p_{2}}-1=p_{1}-1<p_{2}$ och då är $p_{2}$ inte delbart med ${n \over p_{2}}-1$ och således är $n$ inte ett Giugatal.

Alla kända Giugatal är jämna. Om ett udda Giugatal existerar så måste det vara en produkt av minst 14 primtal. Det är inte känt om det finns oändligt många Giugatal.

Paolo P. Lava (2009) förmodade att Giugatal är lösningar till differentialekvationen n'=n+1 där n' är den aritmetiska derivatan av n.

José Mª Grau och Antonio Oller-Marcén har visat att ett heltal n är ett Giugatal om och endast om det uppfyller n'= an +1 för något heltal a>0, där n' är den aritmetiska derivatan av n.

Se även

• Carmichaeltal
• Primärt pseudoperfekt tal

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Giuga number, 2 januari 2014.

• Weisstein, Eric W., "Giuga Number", MathWorld. (engelska)
• Borwein, D.; Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; Girgensohn, R. (1996). ”Giuga's Conjecture on Primality”. American Mathematical Monthly 103: sid. 40–50. Arkiverad från originalet den 2005-05-31. https://web.archive.org/web/20050531164907/http://www.math.uwo.ca/~dborwein/cv/giuga.pdf. 
• Balzarotti, Giorgio; Lava, Paolo P. (2010). Centotre curiosità matematiche. Milan: Hoepli Editore. sid. 129. ISBN 978-88-203-4556-3