Inom talteorin är Carmichaeltal (eller absolut pseudoprimtal) de heltal som är pseudoprimtal i alla baser. Med andra ord, talet är ett Carmichaeltal om och endast om och för alla positiva heltal sådana att och är relativt prima. Talen är döpta efter Robert Carmichael, och är även delmängden K1 till Knödeltalen.

Upptäckt redigera

Den som först upptäckte de grundläggande principerna hos Carmichaeltalen var Korselt, dock utan att ge ett konkret exempel på ett sådant tal. Det var först år 1910 som Carmichael hittade det första talet av denna karaktär, talet 561, och därav kallas de Carmichaeltalen.

Korselts kriterium redigera

En alternativ och ekvivalent definition för ett Carmichaeltal ges av Korselts kriterium.

Ett positivt sammansatt heltal   är ett Carmichaeltal om och endast om   kvadratfritt, och alla primtalsfaktorer   till   uppfyller villkoret  .

Det följer från detta kriterium att alla Carmichaeltal måste vara udda, eftersom ett jämnt sammansatt tal som är kvadratfritt ,måste innehålla minst en udda primtalsfaktor (det kan bara finnas en jämn primtalsfaktor). Enligt   medför detta att det udda talet   kommer att vara delbart med det jämna talet   vilket är en motsägelse.

Att talet   är ett Carmichaeltal är nu enkelt att visa då talet är kvadratfritt och  ,   och  .

Faktorisering redigera

Ett Carmichaeltal har minst som minst 3 primtalsfaktorer. För vissa   finns det oändligt många Carmichaeltal med exakt   primtalsfaktorer. Det visar sig även finnas ett oändligt antal sådana  .

De första Carmichaeltalen med   primtalsfaktorer är:

Antal primtalsfaktorer Första Carmichaeltalet Primtalsfaktorer
3 561  
4 41041  
5 825265  
6 321197185  
7 5394826801  
8 232250619601  
9 9746347772161  

Några andra intressanta fakta är att det andra Carmichaeltalet (1105) kan bli uttryckt som summan av två kvadrater på fler sätt än något mindre tal. Det tredje talet (1729) är också Hardy-Ramanujantalet vilket är det minsta talet som kan skrivas som summan av två kuber (av positiva tal) på två olika sätt.

Referenser redigera