Giesekings konstant

Giesekings konstant är en matematisk konstant. Den är uppkallad efter Hugo Gieseking.

Definition

Giesekings konstant definieras som integralen

$G=\int _{0}^{2\pi /3}\ln \left(2\cos {\tfrac {t}{2}}\right){\mathrm {d} }t=1,01494\;16064\;09653\;62502\;12025\;54274\;52028\;59416\;89307\;53029\;\ldots$

(talföljd A143298 i OEIS).

Alternativa definitioner

Giesekings konstant kan även definieras som

$G={\rm {Cl_{2}}}\left({\tfrac {1}{3}}\pi \right)$

där ${\rm {Cl_{2}}}$ är Clausens funktion,

$G={\frac {1}{36}}i\left(\pi ^{2}-36{\rm {Li_{2}}}(-(-1)^{2/3})\right)={\frac {1}{2}}i\left({\rm {Li_{2}}}((-1)^{2/3})-{\rm {Li_{2}}}((-1)^{1/3})\right)$

där ${\rm {Li_{2}}}$ är dilogaritmen,

$G=D\left({\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)$

där $D$ är Bloch-Wigners dilogaritm, samt

$G={\frac {9-\psi _{1}({\tfrac {2}{3}})+\psi _{1}({\tfrac {4}{3}})}{4{\sqrt {3}}}}$

där $\psi _{1}$ är trigammafunktionen.

Oändlig serie

$G={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\left(1-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(3k+2)^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(3k+1)^{2}}}\right)={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\left(1-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}-{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}-{\frac {1}{8^{2}}}\pm \ldots \right).$

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från tyskspråkiga Wikipedia, Gieseking-Konstante, 28 november 2013.