En fjärdegradsekvation är en ekvation som kan skrivas på formen
där a ≠ 0.
Fjärdegradsekvationen har alltid fyra lösningar (rötter) räknade med multiplicitet. Om koefficienterna a, b, c, d och e alla är reella tal kommer även antingen alla fyra lösningarna, två av lösningarna eller ingen av lösningarna vara reella tal.
Fjärdegradsekvationen är den högsta graden av polynomiell ekvation som är lösbar i den generella formen av radikaler.
Den allmänna fjärdegradsekvationen löstes först efter det att den generella lösningsskissen för tredjegradsekvationen tagits fram. Detta skedde på 1500-talet av Cardanos elev L. Ferrari, men publicerades av Cardano i Ars Magna år 1545. Principen för lösningen av fjärdegradekvationen är att transformera den till en tredjegradsekvation och sedan lösa denna enligt lösningen för tredjegradsekvationer.
Det enklaste sättet att lösa en fjärdegradsekvation är att hitta en rot (r) och sedan dividera ekvationen med (x − r), för att på så sätt få en tredjegradsekvation som blir lättare att lösa.
Om e (konstanttermen) = 0 så kommer även en av rötterna att vara x = 0, och övriga rötter kan då finnas genom att dividera polynomet med x och sedan lösa den tredjegradsekvation man då får.
Antag att P(x) är en fjärdegradsekvation. Då är . Därav följer att om så är P(1) = 0 och därigenom är x = 1 en rot till P(x). På samma sätt gäller även att om så är x = −1 en rot.
Om b är en multipel (k) av a, e är en multipel (k) av d och c = 0, så är även x = −k en rot till ekvationen. Detta följer om ekvationen skrivs
.
Om polynomet i exemplen divideras med (x − 1), (x + 1) respektive (x + k), fås en tredjegradsekvation som sedan löses för att få fram övriga rötter.
En fjärdegradsekvation där b och d är lika med 0 (alltså ) löses enkelt genom ett variabelbyte (), som ger oss en andragradsekvation som sedan löses på sedvanligt sätt. Observera att lösningen av ger oss 1 eller 2 rötter, som sedan vid insättning i ger oss 2 eller 4 rötter.
Om vår fjärdegradsekvation ser ut enligt följande, så har vi en halvsymmetrisk ekvation:
En halvsymmetrisk ekvation löses genom att första dela ekvationen med x 2 och sedan genomföra ett variabelbyte (z = x + m/x). Då får man åter igen en andragradsekvation som enkelt löses enligt gängse rutin.
Om både och så kan den komprimerade fjärdegradsekvationen lösas enligt Lodovico Ferraris metod.
När fjärdegradsekvationen är komprimerad adderas
till ekvation (1), vilket ger
Nästa steg är att addera en variabel y i parentesen i vänstra ledet i ekvation (2), och en motsvarande term 2y i koefficienten till u2-termen på högra sidan. Detta kan ske med hjälp av följande två samband i ekvation (2):
och
Adderas dessa två samband erhålls
som efter addition med ekvation (2) ger
vilket är ekvivalent med
Nästa steg är att välja ett värde på y så att det högra ledet av ekvationen (3) blir en perfekt kvadrat. Detta görs enklast genom att låta diskriminanten av den kvadratiska funktionen bli noll.
För att göra om det högra ledet av ekvation (3) till en perfekt kvadrat måste följande ekvation lösas:
så kan man få ut dess lösningar med hjälp av följande beräkningar:
Om så får vi
Om , så får vi istället:
(Både plus och minus framför rottecknet fungerar.)
(Har tre komplexa rötter, vilken som av dessa fungerar)
Båda ±s måste ha samma tecken medan ±t är oberende av de andra två. För samtliga lösningar, beräkna x med samtliga kombinationer av plus och minus för ±s och ±t.
Fjärdegradsekvationen är den ekvation av högst grad som är lösningsbar enligt en generell mall där endast de fyra räknesätten och rotutdragning används. Detta visade Paolo Ruffini, men då hans resonemang hade vissa brister har beviset tillskrivits Niels Henrik Abel, norsk matematiker. Abel bevisade snarare att femtegradsekvationen är omöjlig att lösa enbart genom algebraiska operationer.