Finita differensmetoden (FDM) är en numerisk metod för att finna lösningar till differentialekvationer genom att ersätta derivatorna med finita differenser.

HärledningRedigera

Säg att man vill beräkna funktionen f i punkten x. Om f:s derivator uppfyller vissa villkor kan man Taylorutveckla f(x + Δx):

 .

Om man löser ut f'(x) får man:

 .

På liknande sätt, genom att Taylorutveckla f(x - Δx), kan man få approximationen

 

och genom att sätta ihop de två formlerna får man

 .

Man kan även härleda approximationer för högre derivator, exempelvis andraderivatan:

 

ExempelRedigera

Som exempel, betrakta Poissonekvationen   på en kvadratisk domän  

Om Laplaceoperatorn   utvecklas fås

 

En approximativ lösning fås genom att approximera de partiella andraderivatorna med

 

där j och k löper över en finit uppdelning av domänen  .

Antag att stegen i x- och y-led är lika, d.v.s  . Då kan den approximativa versionen av ekvationen ovan skrivas om till

 

Denna formel är sedan grunden för iterativa lösningsmetoder, exempelvis Jacobi-metoden.

Se ävenRedigera

ReferenserRedigera

  • Heath, Michael T. (2005). Scientific Computing - An Introductory Survey. McGraw-Hill. ISBN 007-124489-1