En fjärdegradsekvation är en ekvation som kan skrivas på formen

Graf över en fjärdegradsekvation med fyra reella rötter

där a ≠ 0.

Fjärdegradsekvationen har alltid fyra lösningar (rötter) räknade med multiplicitet. Om koefficienterna a, b, c, d och e alla är reella tal kommer även antingen alla fyra lösningarna, två av lösningarna eller ingen av lösningarna vara reella tal.

BakgrundRedigera

Den allmänna fjärdegradsekvationen löstes först efter det att den generella lösningsskissen för tredjegradsekvationen tagits fram. Detta skedde på 1500-talet av Cardanos elev L. Ferrari, men publicerades av Cardano i Ars Magna år 1545. Principen för lösningen av fjärdegradekvationen är att transformera den till en tredjegradsekvation och sedan lösa denna enligt lösningen för tredjegradsekvationer.

LösningsskissRedigera

Det enklaste sättet att lösa en fjärdegradsekvation är att hitta en rot (r) och sedan dividera ekvationen med (x − r), för att på så sätt få en tredjegradsekvation som blir lättare att lösa.

Enklare fallRedigera

Begränsat fallRedigera

Om e (konstanttermen) = 0 så kommer även en av rötterna att vara x = 0, och övriga rötter kan då finnas genom att dividera polynomet med x och sedan lösa den tredjegradsekvation man då får.

Uppenbara rötter: 1, −1 och −kRedigera

Antag att P(x) är en fjärdegradsekvation. Då   är  . Därav följer att om   så är P(1) = 0 och därigenom är x = 1 en rot till P(x). På samma sätt gäller även att om   så är x = −1 en rot.

Om b är en multipel (k) av a, e är en multipel (k) av d och c = 0, så är även x = −k en rot till ekvationen. Detta följer om ekvationen skrivs

 .

Om polynomet i exemplen divideras med (x − 1), (x + 1) respektive (x + k), fås en tredjegradsekvation som sedan löses för att få fram övriga rötter.

Bikvadratisk ekvationRedigera

En fjärdegradsekvation där b och d är lika med 0 (alltså  ) löses enkelt genom ett variabelbyte ( ), som ger oss en andragradsekvation   som sedan löses på sedvanligt sätt. Observera att lösningen av   ger oss 1 eller 2 rötter, som sedan vid insättning i   ger oss 2 eller 4 rötter.

Halvsymmetrisk ekvationRedigera

Om vår fjärdegradsekvation ser ut enligt följande, så har vi en halvsymmetrisk ekvation:

 

En halvsymmetrisk ekvation löses genom att första dela ekvationen med x 2 och sedan genomföra ett variabelbyte (z = x + m/x). Då får man åter igen en andragradsekvation som enkelt löses enligt gängse rutin.

 

Allmän lösning, enligt Ferraris modellRedigera

Ferrari fann en metod för att lösa fjärdegradsekvationer som kan ta fram samtliga rötter oavsett multiplicitet.

Först konverteras fjärdegradsekvationen till en komprimerad fjärdegradsekvation.

Konvertering till en komprimerad fjärdegradsekvationRedigera

Båda leden i ekvationen divideras med a,

 

Nästa steg är att eliminera x3-termen, vilket görs genom variabelbytet

 

vilket ger

 

Därefter utvecklas ekvationen:

  

Efter förenkling erhålls

 

Därefter ges koefficienterna till u beteckningar enligt

 

Resultatet blir

 

vilket är en komprimerad fjärdegradsekvation.

Om   så är ekvationen en Bikvadratisk ekvation, vilket enkelt löses enligt ovan.

Om   så är en av rötterna u = 0, vilket är ett begränsat fall, vilket också löses enkelt enligt ovan.

Ferraris lösningRedigera

Om både   och   så kan den komprimerade fjärdegradsekvationen lösas enligt Lodovico Ferraris metod. När fjärdegradsekvationen är komprimerad adderas

 

till ekvation (1), vilket ger

 

Nästa steg är att addera en variabel y i parentesen i vänstra ledet i ekvation (2), och en motsvarande term 2y i koefficienten till u2-termen på högra sidan. Detta kan ske med hjälp av följande två samband i ekvation (2):

 

och

 

Adderas dessa två samband erhålls

 

som efter addition med ekvation (2) ger

 

vilket är ekvivalent med

 

Nästa steg är att välja ett värde på y så att det högra ledet av ekvationen (3) blir en perfekt kvadrat. Detta görs enklast genom att låta diskriminanten av den kvadratiska funktionen bli noll.

För att göra om det högra ledet av ekvation (3) till en perfekt kvadrat måste följande ekvation lösas:

 

Multiplicera ihop parenteserna

 

Dividera båda sidorna med −4, och flytta −β2/4:

 

vilket är en tredjegradsekvation i y, i vilken båda leden delas med 2,

 

Genom ytterligare ett variabelbyte

 

blir ekvation (4)

 

Expansion och förenkling ger ekvationen

 
 

Koefficienterna ges beteckningar enligt

 
 

vilket ger tredjegradsekvationen

 

Lösningarna till ekvation (5), (vilken som helst fungerar med valfri komplex rot) räknas ut enligt

 

där

 

och V räknas ut enligt definitionerna som

 

och

 

Detta ger att

 

Med y given av ekvation (6) är det klart att det högra ledet av ekvation (3) är en perfekt kvadrat av formen

 
(Detta gäller oavsett valt tecken framför rottecknen om samma tecken väljs för båda)

Detta gör att ekvationen kan skrivas om enligt

 .
Observera: Om β ≠ 0 så är α + 2y ≠ 0. Om β = 0 så skulle detta vara en bikvadratisk ekvation, vilket redan har behandlats.

Ekvation (3) kan därför skrivas:

 .

Förenkling, utveckling och samlande av termer ger ekvationen

 .
Anmärkning: Index s i   och   är där för att visa att de beror på varandra.

Ekvation (8) är en andragradsekvation till u med lösningen

 

Förenklas denna lösning något erhålls slutligen

 

Vilket ger lösningen på den ursprungliga fjärdegradsekvationen:

 
Kom ihåg att de två   kommer från ekvation 8 och skall ha samma tecken, medan   kan vara både positiv och negativ, oberoende av  .
Sammanfattning av Ferrari's lösningsmetodRedigera

Om vi har en given ekvation:

 

så kan man få ut dess lösningar med hjälp av följande beräkningar:

 
 
 

Om   så får vi

 

Om  , så får vi istället:

 
 
 

(Både plus och minus framför rottecknet fungerar.)

 

(Har tre komplexa rötter, vilken som av dessa fungerar)

 
 
 
Båda ±s måste ha samma tecken medan ±t är oberende av de andra två. För samtliga lösningar, beräkna x med samtliga kombinationer av plus och minus för ±s och ±t.

FemtegradsekvationRedigera

Fjärdegradsekvationen är den ekvation av högst grad som är lösningsbar enligt en generell mall där endast de fyra räknesätten och rotutdragning används. Detta visade Paolo Ruffini, men då hans resonemang hade vissa brister har beviset tillskrivits Niels Henrik Abel, norsk matematiker. Abel bevisade snarare att femtegradsekvationen är omöjlig att lösa enbart genom algebraiska operationer.

KällorRedigera

  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.