Felfunktionens graf

Felfunktionen, erf, (också kallad Gauss felfunktion) är inom matematiken en specialfunktion (den är inte elementär) som förekommer inom sannolikhetslära, statistik och tillämpade partiella differentialekvationer. Den definieras som[1][2]

Inom statistiken har felfunktionen för icke-negativa tal tolkningen: för en stokastisk variabel Y som är normalfördelad med medelvärdet 0 och variansen 1/2, beskriver erf(x) sannolikheten för Y inom intervallet [−xx].

EgenskaperRedigera

Grafer i det komplexa planet
Integranden exp(−z2)
erf(z)

Egenskapen   innebär att felfunktionen är en udda funktion. För varje komplext tal z är

 

där   är det komplexa konjugatet av z.

Integranden ƒ = exp(−z2) och ƒ = erf(z) visas i det komplexa z-plane i figurerna 2 and 3. Beloppet av Im(ƒ) = 0 visas med en tjock grön linje. Negativa heltalsvärden hos Im(ƒ) visas med tjocka röda linjer. Positiva heltalsvärden av Im(f) visas med tjocka blå linjer. Mellanliggande värden Im(ƒ) = konstant visas med tunna gröna linjer. Mellanliggande värden av Re(ƒ) = konstant visas med tunna röda linjer för negativa värden och med tunna blå linjer för positiva värden.

Felfunktionen är exakt 1 vid +∞. Längs den reella axeln närmar sig erf(z) 1 när z → +∞ och −1 när z → −∞. Längs den imaginära axeln, närmar sig funktionen ±i∞.

TaylorserierRedigera

Felfunktionen är en hel funktion; den har inga singulariteter (med undantag för den vid oändligheten) och dess Taylorutveckling konvergerar alltid.

Den definierande integralen kan inte beräknas i sluten form med elementära funktioner, men genom expansion av ez2 i dess Maclaurinserie och integration term för term erhålls felfunktionens Maclaurinserie som

 

vilken gäller för varje komplext tal  z.

Den imaginära felfunktionen har en liknande Maclaurinserie:

 

vilken gäller för varje komplext tal z.

Derivata och integralRedigera

Felfunktionens derivata följer direkt från dess definition:

 

En primitiv funktion till felfunktionen, erhålls genom partialintegration och är

 

En primitiv funktion till den komplexa felfunktionen, erhålls också genom partialintegration och är

 

Högre derivator ges av

 

där   är ett Hermitepolynom.[3]

ReferenserRedigera

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, erf, 18 mars 2018.

NoterRedigera

  1. ^ Andrews, Larry C.; Special functions of mathematics for engineers
  2. ^ Greene, William H.; Econometric Analysis (fifth edition), Prentice-Hall, 1993, p. 926, fn. 11
  3. ^ Wolfram MathWorld