Eulers transform

Eulers transform, uppkallad efter Leonhard Euler, är inom matematik en metod för att förbättra konvergensen hos alternerande serier. En konvergent alternerande serie

$s=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}a_{k}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-\ldots$

transformeras med denna metod till

$s=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\Delta ^{k}a_{0}}{2^{k+1}}}$

där Δ är en differensoperator sådan att

$\Delta ^{k}a_{0}=\sum _{m=0}^{k}(-1)^{m}{k \choose m}a_{k-m}.$

Eulers transform är en speciell tillämpning av binomialtransformen.

Exempel

Den långsamt konvergerande alternerande harmoniska serien

$s=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-\ldots$

med summan s = ln 2 omvandlas med Eulers transform till

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{64}}+{\frac {1}{160}}+\ldots =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k2^{k}}}$

som konvergerar betydligt snabbare.

Källor

• Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, s. 16
• Lennart Råde & Bertil Westergren, Mathematics Handbook for Science and Engineering, Studentlitteratur 2004, s. 421