Öppna huvudmenyn

Definition i RnRedigera

Låt   vara en funktion och   en öppen delmängd i  . Funktionen   säges vara differentierbar[1] i   om det existerar en linjär avbildning   sådan att

 .

Den linjära avbildningen   ovan bestäms entydigt av gränsvärdet och kallas differentialen till   i   samt betecknas  . Differentialen blir således en linjär approximation till differensen   för   nära noll, eller omformulerat,  . Matrisen hörande till differentialen betecknas   och kallas funktionalmatrisen eller jacobimatrisen.

I fallet  , så sammanfaller   med derivatan i  , och i fallet  , så betecknas vanligen   med  .

Differential och riktningsderivataRedigera

Riktningsderivatan,  , av   i   utmed riktningen   ges av gränsvärdet

 .

En räkning ger,

 
= 

varför  . Riktningsderivatan kan sålunda uttryckas med differentialen; speciellt betyder detta att riktningsderivatan är linjär i  , givet konventionen  .

Klassisk framställan medelst Leibniz notationRedigera

Betrakta fallet   och beteckna med   identitetsfunktionen  . Eftersom derivatan av   är 1, så är dess differential  . Om   är en differentierbar funktion, så gäller enligt definitionen ovan   d.v.s.  . Om nu Leibniz notation,  , nyttjas och index samt variabeln   undertrycks, så erhålls, tillika ges mening åt, den klassiska formeln

 .

Analogt fås i fallet   den klassiska formeln

 .

Räkneexempel: ApproximationRedigera

Låt   ges av  . Differentialen av   vid   ges då av multiplikation med  . Ett närmrevärde till   är då med   och  :

 .

Anm. Med fem decimalers noggrannhet är  .

ReferenserRedigera

  1. ^ Edwards, Jr., C.H. (1994). Advanced Calculus of Several Variables. New York: Dover Publications. sid. 67. ISBN 978-0-486-68336-2