Cauchys integralkriterium

Cauchys integralkriterium används inom matematiken till att avgöra om en talserie är konvergent eller divergent genom att jämföra med motsvarande integral.

Om $f(x)\$ är positiv, kontinuerlig och avtagande på intervallet $[1,\infty ]$ gäller att

$\sum _{k=1}^{\infty }f(k)\$ är konvergent om och endast om $\int _{1}^{\infty }f(x)\;dx\$ är det

Bevis

Eftersom f(x) är avtagande gäller $f(x)\leq f(k)\$ om $x\geq k\$. Alltså gäller

$\int _{k}^{k+1}f(x)\;dx\leq \int _{k}^{k+1}f(k)\;dx=\left[f(k)\cdot x\right]_{k}^{k+1}=f(k).$

$\int _{1}^{\infty }f(x)\;dx=\sum _{k=1}^{\infty }\int _{k}^{k+1}f(x)\;dx\leq \sum _{k=1}^{\infty }f(k)$

Dvs om serien är konvergent är integralen konvergent

På samma sätt gäller

$\int _{k}^{k+1}f(x)\;dx\geq \int _{k}^{k+1}f(k+1)\;dx=\left[f(k+1)\cdot x\right]_{k}^{k+1}=f(k+1).$

$\int _{1}^{\infty }f(x)\;dx=\sum _{k=1}^{\infty }\int _{k}^{k+1}f(x)\;dx\geq \sum _{k=1}^{\infty }f(k+1)=\left(\sum _{k=1}^{\infty }f(k)\right)-f(1)$

Dvs om integralen är konvergent är serien konvergent

Alltså är serien konvergent om och endast om integralen är konvergent

Exempel

Den harmoniska serien

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\ldots$ är konvergent om och endast om $\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\;dx\$ är det. Detta är dock inte fallet, eftersom

$\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\;dx=\left[\ln x\right]_{1}^{\infty }=\infty \$