Öppna huvudmenyn
En cauchyföljd, de blåa punkterna kommer närmare och närmare.
En följd som inte är en cauchyföljd.

En cauchyföljd är en talföljd där skillnaden mellan två tal i följden är godtyckligt liten så länge talen dyker upp tillräckligt sent i följden. Begreppet är uppkallat efter den franske matematikern Augustin Louis Cauchy.

Begreppet är svagare än den vanliga konvergensen, det vill säga varje konvergent talföljd är också en cauchyföljd, medan det finns cauchyföljder som inte är konvergenta.

Ett rum i vilket alla cauchyföljder konvergerar (mot något element i samma rum) kallas fullständigt. Exempel på fullständiga rum är de reella talen och de komplexa talen. Ett exempel på ett rum som inte är fullständigt är de rationella talen.

DefinitionRedigera

I ett metriskt rum   är en följd av element   en cauchyföljd om avståndet mellan element,  , går mot noll då index   och   går mot oändligheten oberoende av varandra :

 

I ord: För varje ε finns ett   sådant att två godtyckliga element med index större än   har ett avstånd som är mindre än ε.

Då ett normerat rum   även är ett metriskt rum, kan man enkelt överföra definitionen på normerade rum:

 

Där   har ersatts med  . Exempelvis blir de reella och komplexa talen normerade rum med absolutbeloppet som norm.

EgenskaperRedigera

Varje konvergent följd är en cauchyföljd.

Bevis

En följd   av element i ett metriskt rum   konvergerar mot ett element   om avståndet mellan   och   går mot noll då index   går mot oändligheten :

 

Om vi väljer två index   oberoende av varandra, så ger triangelolikheten att avståndet mellan elementen   och   kan begränsas uppåt:

 

vilket visar att   är en cauchyföljd.

ExempelRedigera

Följande exempel visar att huruvida en cauchyföljd konvergerar beror på det metriska rummet (X,d) och inte på själva cauchyföljden.

Låt det metriska rummet vara det öppna intervallet   tillsammans med metriken
  (absolutbeloppet av talet  ).
Sekvensen   definierad som  
är en cauchyföljd, eftersom avståndet mellan två godtyckliga element
 
då index   oberoende av varandra. Följden konvergerar mot talet  , men detta tal är inte ett element i det metriska rummet  . Därför konvergerar cauchyföljden inte i det givna metriska rummet.