Birch–Swinnerton-Dyers förmodan

Birch-Swinnerton-Dyers förmodan tillhör området aritmetisk algebraisk geometri. Som Newton var den förste att påpeka skär en linje en elliptisk kurva i tre punkter. För detta gäller att om två av dessa punkter är rationella så är också den tredje rationell.

Låt E(Q) vara en elliptisk kurva, det vill säga en icke-singulär, projektiv kurva av genus 1, definierad över en talkropp K. Denna ekvation skrivs vanligtvis på formen y² = x³ + ax + b där a och b är heltal. Man kan visa att de rationella punkterna i K bildar en grupp under den additionsoperation som ges av att tre kolinjära punkter summerar till 0. Det vill säga:

$f(x,y)=0,\quad x,y\in \mathbb {Q} .$

Denna grupp består av en torsionskomponent samt r antal kopior av Z. r kallas rangen för E. Associerad till E finns också en meromorf funktion L(E,s), s komplex, kallad L-funktionen för E. Den definieras som en viss eulerprodukt där faktorerna beror på antalet punkter på E över de ändliga kropparna.

$L:=\prod _{p\nmid 2\delta }(1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s})^{-1}$

Denna eulerprodukt konvergerar för Re(s) > 3/2.

Birch-Swinnerton-Dyers förmodan lyder:

Taylorexpansionen för L(E,s) vid s=1 har formen

$L(E,s)=c(s-1)^{r}+{\text{termer av hogre ordning,}}\qquad c\neq 0$

Förmodan innebär alltså att gruppen innehåller ett oändligt antal rationella punkter om L-funktionen har ett nollställe i s=1 och ett ändligt om L-funktionen inte har det.

Historia

I början av 1960-talet undersökte Peter Swinnerton-Dyer antalet punkter modulo p (betecknas med N_p) för ett stort antal primtal p för ett stort antal elliptiska kurvor vars rang var känt. Från dessa numeriska resultat förmodade Bryan John Birch och Swinnerton-Dyer att N_p för kurvan E med rang r satisfierar

Grafen av $\prod _{p\leq X}{\frac {N_{p}}{p}}$ för kurvan y² = x³ − 5x då X går över de första 100000 primtalen. X-axeln är log(log(X)) och Y-axeln är i logaritmisk skala så att förmodan säger att data borde bilda en linje med en lutning samma som kurvans rang, vilket i detta fall är 1. Som jämförelse finns en röd linje med lutning 1 i grafen.

$\prod _{p\leq x}{\frac {N_{p}}{p}}\approx C\log(x)^{r}{\mbox{ as }}x\rightarrow \infty$

där C är en konstant.

Det här ledde dem till en allmän förmodan om kurvans L-funktion L(E, s) vid s = 1, nämligen att den har ett nollställe av ordning r vid 1.

Förmodan utvidgades senare till att omfatta en explicit formel för den första Taylorkoefficienten av L-funktionen vid s = 1. Denna starkare förmodan lyder

${\frac {L^{(r)}(E,1)}{r!}}={\frac {\#\mathrm {Sha} (E)\Omega _{E}R_{E}\prod _{p|N}c_{p}}{(\#E_{\mathrm {Tor} })^{2}}}$

där kvantiteterna i högra membrum är invarianter av kurvan, undersökta av Cassels, Tate, Sjafarevitj och andra: dessa inkluderar ordningen av torsiongruppen, ordningen av Tate–Sjafarevitjgruppen och den kanoniska höjden av en bas av rationella punkter (Wiles 2006).

Konsekvenser

Såsom Riemannhypotesen har Birch-Swinnerton-Dyers förmodan en mängd konsekvenser.

• Låt n vara ett udda kvadratfritt tal. Om man antar Birch-Swinnerton-Dyers förmodan är n ett kongruent tal om och bara om antalet heltalslösningar (x, y, z) av ekvationen $2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=n$ är två gånger antalet heltalslösningar av ekvationen $2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=n$. Den här satsen av Tunnell (1983) är relaterad till det att n är ett kongruent tal om och bara elliptiska kurvan $y^{2}=x^{3}-n^{2}x$ har en rationell punkt av oändlig ordning (härmed, om man antar Birch-Swinnerton-Dyers förmodan, har dess L-funktion ett nollställe vid 1).