Finita differensmetoden

(Omdirigerad från Bandmatrismetoden)

Finita differensmetoden (FDM) är en numerisk metod för att finna lösningar till differentialekvationer genom att ersätta derivatorna med finita differenser.

HärledningRedigera

Säg att man vill beräkna funktionen f i punkten x. Om f:s derivator uppfyller vissa villkor kan man Taylorutveckla f(x + Δx):

 .

Om man löser ut f'(x) får man:

 .

På liknande sätt, genom att Taylorutveckla f(x - Δx), kan man få approximationen

 

och genom att sätta ihop de två formlerna får man

 .

Man kan även härleda approximationer för högre derivator, exempelvis andraderivatan:

 

ExempelRedigera

Som exempel, betrakta Poissonekvationen   på en kvadratisk domän  

Om Laplaceoperatorn   utvecklas fås

 

En approximativ lösning fås genom att approximera de partiella andraderivatorna med

 

där j och k löper över en finit uppdelning av domänen  .

Antag att stegen i x- och y-led är lika, d.v.s  . Då kan den approximativa versionen av ekvationen ovan skrivas om till

 

Denna formel är sedan grunden för iterativa lösningsmetoder, exempelvis Jacobi-metoden.

Se ävenRedigera

ReferenserRedigera

  • Heath, Michael T. (2005). Scientific Computing - An Introductory Survey. McGraw-Hill. ISBN 007-124489-1