Absolutbelopp

Absolutbeloppet, ibland kallat absolutvärdet eller beloppet av ett tal x betecknas |x| och är ett positivt reellt tal eller noll och kan ges den geometriska tolkningen som ett tals avstånd till origo eller 0-punkten i det fall talet kan representeras på tallinjen.^[1]^[2]

Graf över absolutvärdesfunktionen för reella tal

Ett tals absolutvärde kan tolkas som talets avstånd till origo

Absolutbeloppet av ett reellt tal x definieras av^[2]

|x|=\left\{{\begin{matrix}x,&x\geq 0\\-x,&x<0\end{matrix}}\right.

Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + bi definieras av^[1]

|z|={\sqrt {zz^{*}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}

(se kvadratrot och komplexkonjugat.)

För en vektor v = (x₁, x₂,..., x_n), kallas ibland vektorns längd för vektorns absolutbelopp eller belopp:

|\mathbf {v} |={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}}

Den vanliga benämningen är dock vektorns norm och betecknas $||\mathbf {\bar {v}} ||$ .^[3]

Egenskaper

Om a och b är komplexa tal gäller att^[1]

$|a|\geq 0$
$|a|=0\Leftrightarrow a=0$
$|ab|=|a||b|\,$
$\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}$
$|a+b|\leq |a|+|b|$ (triangelolikheten)
$|a-b|\geq ||a|-|b||$ (omvända triangelolikheten)
$|a|={\sqrt {aa^{*}}}$ , där a^* är det komplexkonjugerade värdet av a

Om a och b är reella gäller även^[2]

$|a|\leq b\Leftrightarrow -b\leq a\leq b,b\geq 0$

Anledningen till att man använder begreppet norm för vektorer är att multiplikationsregeln gäller ett reellt tal $a$ och en vektor $\mathbf {\bar {v}}$ : ^[3]