Weierstrassfunktionen skapades av den tyske matematikern Karl Weierstrass under sin tid som professor i Berlin [1]. Den är ett exempel på att en överallt kontinuerlig funktion inte behöver vara deriverbar någonstans och har formen

Weiserstrassfunktionen i intervallet [-2,2]. Det inzoomade området visar att funktionen är en fraktal.

där och b är ett udda heltal större än 1 [2].

HistoriaRedigera

Historiskt sett ligger Weierstrassfunktionens betydelse i att den var den första publicerade funktion som motsade att alla kontinuerliga funktioner är deriverbara överallt utom i ett visst antal diskreta punkter. Det hade dock skapats funktioner med dessa egenskaper tidigare, dock publicerades dessa aldrig vilket gjorde att de inte fick samma spridning som Weierstrassfunktionen. [2]. Weierstrassfunktionen anses också vara en av de första fraktalerna som skapats.

Bevis av kontinuitetRedigera

Eftersom

 

och

 

kommer funktionen att vara kontinuerlig på hela   enligt Weierstrass majorantsats [2].

Bevis av icke-deriverbarhetRedigera

BevisidéRedigera

Beviset, utförd enligt [2], bygger på att man ska bevisa att höger- och vänsterderivaten är olika, dvs att  

Börja med att låta   och   var två godtyckliga tal.

Välj   så att  

och sätt  

  och  .

För att visa att   görs följande beräkningar:

 

 

vilket ger olikheten

 

varför  .

Samtidigt fås att  , dvs   från vänster då  

och  , dvs   från höger då   efter b>1.

Uppskattning av vänsterderivatanRedigera

Den vänsterderivatan begrundas först och delas upp i   och   enligt

 

 .

Där alltså S1 är summan av kvoterna från n=0 till n=m-1 och S2 är summan av kvoterna från n=m till oändligheten. S1 och S2 behandlas sedan var för sig för kunna uppskatta S1 uppåt och S2 nedåt.

Uppskattning av S1Redigera

S1 skrivs om med hjälp av den trigonometriska formeln  

samt det faktum att  .

 

 

Uppskattning av S2Redigera

S2 kan, då b är ett udda heltal och   skrivas om enligt

 

och

 

vilket ger

 

 

 

 .

Vi får alltså att

 

 .

I och med att   och  

är alla termer positiva vilket ger att

  .

ResultatRedigera

Uppskattningarna av S1 och S2 ger att det existerar ett   och   så att

 

 .

Uppskattning av högerderivatanRedigera

Högerderivatan uppskattas på samma sätt som den vänstra enligt

 

 .

Uppskattning av S'1Redigera

  skrivs om på samma sätt som  .

 

 

Uppskattning av S'2Redigera

  kan uppskattas på samma sätt som   enligt nedan.

 

 

Från beräkningen av S2 fås även att

 

vilket ger att

 

 .

I och med att   och  

är alla termer positiva vilket ger att

 .

ResultatRedigera

Uppskattningarna av S'1 och S'2 ger att det existerar ett   och   så att

 

SlutsatsRedigera

Vänster- och högerderivatan kan skrivas enligt:

 

 

Detta tillsammans med att

 

ger direkt att funktionen saknar derivata eftersom vänster- och högerderivatan har olika tecken.

NoterRedigera

  1. ^ Jan Thompson & Thomas Martinsson (1991). Matematiklexikon. ISBN 91-46-16515-0 
  2. ^ [a b c d] http://epubl.luth.se/1402-1617/2003/320/LTU-EX-03320-SE.pdf