Tjebysjovfilter

Ett Tjebysjovfilter är inom signalbehandling ett analogt (passivt eller aktivt) eller digitalt låg- eller högpassfilter. Filtret har en branthet som överstiger Butterworthfiltret vid given ordning, men uppvisar i gengäld rippel och större fasvridning i passbandet. Filtret är uppkallat efter Pafnutij Tjebysjov därför att dess matematiska karaktäristik har härletts ur Tjebysjovpolynom.

Olika ordningars Tjebysjovfilter med epsilon på 0,7 dvs ett passbandsrippel på 1,7dB.

Rippel

Filterparametern $\epsilon$ är relaterad till passbandsripplet $\gamma$ i decibel enligt följande

$\epsilon ^{2}=10^{\frac {\gamma }{10}}-1$

3dB-bandbredden $f_{H}$ är relaterad till rippel-bandbredden $f_{C}$ enligt:

$f_{H}=f_{C}\cosh \left({\frac {1}{n}}\operatorname {arccosh} {\frac {1}{\epsilon }}\right)$

Beloppsfunktion

Ett analogt Tjebysjovlågpassfilter har magnituden:

$|H|^{2}={\frac {1}{1+\epsilon ^{2}T_{n}^{2}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)}}$

där $T_{n}(\omega /\omega _{0})$ är Chebyshevpolynomen definierade av

$T_{n}({\tfrac {\omega }{\omega _{0}}})=\cos(n\cdot \arccos {\tfrac {\omega }{\omega _{0}}}),\quad 0\leq {\tfrac {\omega }{\omega _{0}}}\leq 1$

$T_{n}({\tfrac {\omega }{\omega _{0}}})=\cosh(n\cdot \operatorname {arccosh} {\tfrac {\omega }{\omega _{0}}}),\quad {\tfrac {\omega }{\omega _{0}}}>1$

Överföringsfunktion

Ett analogt lågpassfilters överföringsfunktion kan allmänt skrivas:

$H(s)={\frac {A_{0}}{(1+a_{1}s+b_{1}s^{2})(1+a_{2}s+b_{2}s^{2})...(1+a_{n}s+b_{n}s^{2})}}={\frac {A_{0}}{\prod _{i=1}^{n}(1+a_{i}s+b_{i}s^{2})}}$

där $A_{0}$ är förstärkningen vid dc (dvs $\omega =0$).

Vid Chebychevfilter ser de tre första ordningarnas polynom i nämnaren, för 1dB rippel i passbandet, ut som följer ($\epsilon =0.5089$):

$n=1;\quad s+1.965$
$n=2;\quad s^{2}+1.098s+1.103$
$n=3;\quad (s+0.494)(s^{2}+0.494s+0.994)$

Exempel: Aktivt analogt andra ordningens lågpassfilter

Ett realiseringsexempel

Kopplingen till höger realiserar ($A_{0}=1$):

$H(s)={\frac {1}{1+\omega _{0}C_{1}(R_{1}+R_{2})s+\omega _{0}^{2}R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}s^{2}}}$

där alltså

$a_{1}=\omega _{0}C_{1}(R1+R2)=1.098/1.103\$

och

$b_{1}=\omega _{0}^{2}R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}=1/1.103\$

När man designar filtret så antar man lämpligtvis kondensatorerna och räknar sedan fram resistorerna.

Filtrets karaktäristik

jw-metoden ger:

$H(j\omega )={\frac {1}{((1-b_{i}\omega ^{2})+ja_{i}\omega )}}$

vars beloppsfuntion blir

$|H|={\frac {1}{\sqrt {(1-b_{i}\omega ^{2})^{2}+(a_{i}\omega )^{2}}}}$

och fasfunktion

$Arg(H)=-\arctan \left({\frac {a_{i}\omega }{1-b_{i}\omega ^{2}}}\right)$

Om man sedan sätter $\omega =\omega /\omega _{0}$ får man en relativ uppskattning av filtrets karaktäristik.

Se även

• Butterworthfilter
• Besselfilter
• Bikvadratiskt filter

Källor

• Millman Jacob, Grabel Arvin, Microelectronics, Second Edition, 1988, Singapore
• Texas Instruments, Active Filter Design Techniques, Chapter 16.