Slutet hölje

Inom matematik är det slutna höljet till en mängd M mängden av alla punkter som, intuitivt uttryckt, ligger "nära" M.

Definition

Låt M vara en mängd och låt L vara mängden av alla M:s randpunkter. Då definieras det slutna höljet av M som unionen av M och L:

${\overline {M}}=M\cup L$

Detta kan även uttryckas som att slutna höljet till M är M med sin rand:

${\overline {M}}=M\cup \partial M$

Egenskaper

Det slutna höljet har följande egenskaper:

$M\subseteq {\overline {M}}$.

${\overline {M}}$ är den minsta slutna mängden som innehåller M.

${\overline {M}}$ är snittet av alla slutna mängder som innehåller hela M.

$M$ är sluten om och endast om ${\overline {M}}=M$.

Om $M\subset N$ så följer att ${\overline {M}}\subset {\overline {N}}$.

Ibland används den andra eller den tredje egenskapen som definitionen av det slutna höljet.

Exempel

• I alla rum X så är det slutna höljet av den tomma mängden den tomma mängden och ${\overline {X}}=X$.
• Det slutna höljet till det öppna intervallet $]0,1[$ är det slutna intervallet $[0,1]$.
• Det slutna höljet till de rationella talen är de reella talen, man säger att de rationella talen är en tät delmängd till de reella talen.
• I komplexa talplanet är det slutna höljet av $|z|<1\,$ (den öppna skivan) lika med $|z|\leq 1$ (den slutna skivan).

Slutet hölje som operator

I ett rum X, låt M vara en mängd, $M^{-}$ det slutna höljet till M och $M^{o}$ det inre till M. Följande samband kopplar ihop det slutna höljet med det inre:

• $M^{-}=X\setminus (X\setminus M)^{o}$
• $M^{o}=X\setminus (X\setminus M)^{-}$

Där $X\setminus M$ är komplementet till M i X. Kan även utläsas X (mängd)minus M.