Inom matematiken är Serres modularitetsförmodan, introducerad av Serre (1975, 1987), baserad på korrespondens under åren 1973–1974 med John Tate, en förmodan som säger att från en udda irreducibel tvådimensionell Galoisrepresentation över en ändlig kropp uppstår från en modulär form. En starkare version av förmodan specificerar vikten och nivån av modulära formen. Förmodan bevisades av Chandrashekhar Khare i fallet med nivå 1[1] 2005 och 2008 lyckades Khare och Jean-Pierre Wintenberger bevisa hela förmodan.[2]

FormuleringRedigera

Förmodan handlar om absoluta Galoisgruppen   av den rationella talkroppen  .

Låt   vara en absolut irreducibel, kontinuerlig tvådimensionell representation av   över en ändlig kropp som är udda (vilket betyder att komplex konjugering har determinant -1)

 

av karakteristik  ,

 

Till en godtycklig normaliserad modulär egenform

 

av nivå  , vikt   och någon Nebentypkaraktär

 ,

relaterar en sats av Shimura, Deligne och Serre-Deligne en representation

 

där   är ringen av heltal i en ändlig utvidgning av  . Denna representation karakterisers av kravet att för alla primtal  , relativt prima till   har vi

 

och

 

Genom att reducera denna representation modulo maximala idealen av   ger en mod   representation   av  .

Serres förmodan säger att för alla   såsom ovan finns det en modulär egenform   så att

 .

Nivån och vikten av den förmodade formen   beräknas explicit i Serres artikel. Dessutom härleder han flera resultat från denna förmodan, bland annat Fermats stora sats och Taniyama-Shimuras sats.

KällorRedigera

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Serre's modularity conjecture, 22 juni 2014.
  1. ^ Khare, Chandrashekhar (2006), ”Serre's modularity conjecture: The level one case”, Duke Mathematical Journal 134 (3): 557–589, doi:10.1215/S0012-7094-06-13434-8 .
  2. ^ Khare, Chandrashekhar; Wintenberger, Jean-Pierre (2009), ”Serre’s modularity conjecture (I)”, Inventiones Mathematicae 178 (3): 485–504, doi:10.1007/s00222-009-0205-7  och Khare, Chandrashekhar; Wintenberger, Jean-Pierre (2009), ”Serre’s modularity conjecture (II)”, Inventiones Mathematicae 178 (3): 505–586, doi:10.1007/s00222-009-0206-6 .

Externa länkarRedigera