Peanos kurva upptäcktes 1890 av den italienske matematikern Giuseppe Peano och det var den första kontinuerliga kurvan som kunde täcka en hel kvadrat. Peanos upptäckt har sedan gett upphov till flera andra rumsfyllande kurvor både i planet och i högre dimensioner. Rumsfyllande kurvor av dimension 2 kallas dock ofta för Peanos kurvor till upptäckarens ära.

BakgrundRedigera

1878 gjorde den rysk-tyske matematikern Georg Cantor en intressant upptäckt. Han fann att två ändliga, släta mångfalder oberoende av dess dimensioner har samma kardinalitet. Vilket med enklare språk betyder att två ytor av ändlig dimension till exempel en linje och ett plan innehåller lika många punkter[källa behövs]. Detta innebär att man skulle kunna avbilda enhetslinjen [0,1] på enhetskvadraten   bijektivt. Det vill säga att varje element i [0,1] motsvarar ett och endast ett element i   och tvärtom.

Cantors upptäckt skapade en mängd frågor, till exempel kan en sådan avbildning vara kontinuerlig? Eugen Netto visade 1879 inga sådana kontinuerliga kurvor existerade om bijektiviteten skulle uppfyllas. Då undrade man om det fanns kontinuerliga avbildningar då bijektiviteten sänktes till surjektivitet. Alltså om det fanns kontinuerliga avbildningar från enhetslinjen till enhetskvadraten som passerar varje punkt i kvadraten. Peano fann 1890 att sådana kurvor existerade.

Grafisk tolkning av Peanos kurvaRedigera

 
3 iterationer av Peanos kurva.

Peano gjorde sin upptäckt analytiskt, det är dock lättare att förstå kurvans innebörd grafiskt. Den tyske matematikern David Hilbert var den första som insåg hur man kunde skapa kurvorna geometriskt. Han förstod att om enhetslinjen kan avbildas kontinuerligt på enhetskvadraten, kan man dela upp enhetslinjen i fyra lika stora intervall och avbildningen från dessa skulle hamna i fyra lika stora underkvadrater. Dessa kan sen i sin tur delas upp i fyra nya delar. När man delat intervallen och kvadraterna så de blivit godtyckligt små har man fått en peanokurva. Bilden visar hur man genererar en sådan kurva enligt Hilberts idé. Fast till skillnad från Hilbert använder bilden nio underkvadrater men principen är densamma.

Definition av Peanos kurvaRedigera

Peanos kurva avbildar   och funktionen är definierad enligt ett trinärt system,

 

Peano skapade sin avbildning med hjälp av operatorn,

 

Peanos kurva avbildar ett trinärt bråk på en punkt i enhetskvadraten enligt

 

Där   betecknar den  te iterationen av  .

För att avbildningen ska vara en rumsfyllande kurva måste den vara surjektiv och kontinuerlig. Så för att bevisa att Peanos kurva är en rumsfyllande kurva bevisas först att den är surjektiv och sedan att den är kontinuerlig.

Bevis att Peanos kurva är rumsfyllandeRedigera

SurjektivitetRedigera

Tag en godtycklig punkt i enhetskvadraten,

 

Det ska då finnas åtminstone en punkt på enhetslinjen

 

sådan att

 

Genom att jämföra   med Peanos definition erhåller man följande rekursiva samband:

  där  

Sambanden kan sen inverteras eftersom

 

Det vill säga   är sin egen invers vilket ger

 

Nu går det att lösa för   och därav är   surjektiv.

KontinuitetRedigera

Vi skriver Peanos kurva som

 

För att kurvan ska vara kontinuerlig måste både   och   vara det på hela [0,1]. Funktionen   bevisas vara kontinuerlig genom att låta

  och  

Detta ger

 

Om vi nu har   kommer   stämma överens med   de första   siffrorna och därför kan man uttrycka   som,

 

För att se om   är kontinuerlig sätter vi

 

och tittar sedan på   som ska gå mot noll om   är kontinuerlig.

 
 
 

Vilket ger gränsvärdet,

  

.

Alltså är   kontinuerlig från höger, för att ta reda på om den är kontinuerlig från vänster gör man på samma sätt, men tar   istället. Gör man det finner man att   är kontinuerlig på hela [0,1]. Att   är kontinuerlig medför att   är det också eftersom  . Därmed är hela beviset klart.

FraktalerRedigera

Peanos kurva var en av de första fraktalerna och lade grunden för fraktalteorin som långt efter Peanos upptäckt fått otaliga tillämpningar. Fraktaler används idag inom många vetenskapliga områden till exempel datorvetenskap och medicin.

ReferenserRedigera

Externa länkarRedigera