En paraxiell approximation är inom geometrisk optik en approximation för små vinklar som bygger på taylorutvecklingen av de trigonometriska funktionerna och en paraxiell stråle[1] är en ljusstråle som avviker så lite från ett optiskt systems axel att paraxiell approximation kan tillämpas.

Taylorapproximationer av olika ordning (första ordningen grön, tredje blå, femte orange och sjunde grå) för sinus (röd kurva).

Inom paraxiell optik, även kallad gaussoptik (efter Carl Friedrich Gauss) eller optik av första ordningen/graden, ersätts de trigonometriska funktionerna med:

där är den vinkel, uttryckt i radianer, som strålen bildar mot den optiska axeln.

Stundom avses med paraxiell approximation även approximationer av andra ordningen[2], det vill säga:

där termerna av andra graden i taylorutvecklingen tagits med (andragradstermer saknas i taylorutvecklingarna för sinus och tangens).

Approximationer av första ordningen ger ett fel på mindre än en procent vid en avvikelse () under åtta grader[3] och mindre än en promille vid en avvikelse under 2,6°. Andra ordningens approximationer flyttar dock inte gränserna nämnvärt - procentgränsen går vid 10° och promillegränsen vid 3,2°.[4]

Den optik som ingår i elementär utbildning är helt och hållet paraxiell, medan verkligheten uppvisar avvikelser från gaussoptiken som, i stort sett, sammanfattas under beteckningen aberrationer[5].

(röd), (grön) och (blå) för vinklar upp til en radian (57,3°).
(röd) och (grön).

Referenser och noterRedigera

  1. ^ Eriterm : femspråkig ordlista för telekommunikation : svenska, engelska, franska, spanska, tyska, Ericsson Telecom AB 1992, sid. 401.
  2. ^ Med "ordning" avses att man tar med termer i utvecklingarna till och med den grad (potens) de har. Optik av tredje ordningen innebär att man för sinus och tangens tar med termen av grad tre, sålunda:   och  . I fjärde ordningen tillkommer en fjärdegradsterm för cosinus - och så vidare...
  3. ^ Eftersom det största felet ges av  . För sinus är på motsvarande sätt procentgränsen 14° och för tangens 10°.
  4. ^ Men som jämförelse kan noteras att approximationer av tredje ordningen ger ett fel på högst en tiondels promille vid 10° (för tangens - för sinus vid 19° och för cosinus vid 14°).
  5. ^ Kromatisk aberration utgör ett undantag eftersom denna beror på skillnader i brytningsindex för ljus av olika våglängder och inte på approximationer av vinklar.