Öppna huvudmenyn

Multinomialsatsen är, inom matematik, en generalisering av binomialsatsen och är en framställning av ett multinom som en summa av potenser i talen .

Satsens lydelseRedigera

Låt   vara godtyckliga reella eller komplexa tal och   ett godtyckligt naturligt tal. Då kan potensen   framställas som följande summa:

 

Summasymbolen   indikerar att man skall summera över alla multipler   av naturliga tal sådana att deras summa   Symbolen

 

där   (se fakultet), kallas multinomialkoefficient och är en generalisering av binomialkoefficienten  .

Exempel: TrinomRedigera

Trinomet   kan beräknas direkt genom utveckling av kvadraten eller genom användning av multinomialsatsen.

Multinomialsatsen kräver tripler   där komponenterna  ,  och   är heltal i mängden   sådana att deras summa är   De möjliga triplerna är   och  .

Det kan noteras att problemet att bestämma de möjliga triplerna är identiskt med problemet att finna antalet sätt att skriva talet 2 som en summa av tre naturliga tal. Den generella multinomialsatsen kräver en lösning till problemet att bestämma antalet sätt som det naturliga talet n kan skrivas som en summa av m naturliga tal.

Multinomialkoefficienterna associerade med de olika triplerna ovan är

 

och

 

Multinomialsatsen ger oss potensen   som summan

 
 

vilket, med de beräknade multinomialkoefficienterna, är

 
  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.