Multinomialsatsen

Multinomialsatsen är, inom matematik, en generalisering av binomialsatsen och är en framställning av ett multinom $(a_{1}+\cdots +a_{m})^{n}$ som en summa av potenser i talen $a_{1},\dots ,a_{m}$.

Satsens lydelse

Låt $a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}$ vara godtyckliga reella eller komplexa tal och $n$ ett godtyckligt naturligt tal. Då kan potensen $(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{m})^{n}$ framställas som följande summa:

$(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}\,{\binom {n}{k_{1},\dots ,k_{m}}}\,a_{1}^{k_{1}}\cdots a_{m}^{k_{m}}.$

Summasymbolen $\sum _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}$ indikerar att man skall summera över alla multipler $(k_{1},\dots ,k_{m})$ av naturliga tal sådana att deras summa $k_{1}+\cdots +k_{m}=n.$ Symbolen

${\binom {n}{k_{1},\dots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdots k_{m}!}}$

där $n!=1\cdot 2\cdot \cdots \cdot n$ (se fakultet), kallas multinomialkoefficient och är en generalisering av binomialkoefficienten ${\binom {n}{k}}$.

Exempel: Trinom

Trinomet $(a_{1}+a_{2}+a_{3})^{2}$ kan beräknas direkt genom utveckling av kvadraten eller genom användning av multinomialsatsen.

Multinomialsatsen kräver tripler $(k_{1},k_{2},k_{3})$ där komponenterna $k_{1}$,$k_{2}$ och $k_{3}$ är heltal i mängden $\{0,1,2\}$ sådana att deras summa är $k_{1}+k_{2}+k_{3}=2.$ De möjliga triplerna är $(1,1,0),\;(1,0,1),\;(0,1,1),\;(0,0,2),\;(0,2,0)$ och $(2,0,0)$.

Det kan noteras att problemet att bestämma de möjliga triplerna är identiskt med problemet att finna antalet sätt att skriva talet 2 som en summa av tre naturliga tal. Den generella multinomialsatsen kräver en lösning till problemet att bestämma antalet sätt som det naturliga talet n kan skrivas som en summa av m naturliga tal.

Multinomialkoefficienterna associerade med de olika triplerna ovan är

${\binom {2}{1,1,0}}={\frac {2!}{1!1!0!}}=2={\binom {2}{1,0,1}}={\binom {2}{0,1,1}}$

och

${\binom {2}{0,0,2}}={\frac {2!}{0!0!2!}}=1={\binom {2}{0,2,0}}={\binom {2}{2,0,0}}.$

Multinomialsatsen ger oss potensen $(a_{1}+a_{2}+a_{3})^{2}$ som summan

${\binom {2}{2,0,0}}a_{1}^{2}\,a_{2}^{0}\,a_{3}^{0}+{\binom {2}{0,2,0}}a_{1}^{0}\,a_{2}^{2}\,a_{3}^{0}+{\binom {2}{0,0,2}}a_{1}^{0}\,a_{2}^{0}\,a_{3}^{2}+{\binom {2}{1,1,0}}a_{1}^{1}a_{2}^{1}a_{3}^{0}+$

$+{\binom {2}{1,0,1}}a_{1}^{1}\,a_{2}^{0}\,a_{3}^{1}+{\binom {2}{0,1,1}}a_{1}^{0}\,a_{2}^{1}\,a_{3}^{1},$

vilket, med de beräknade multinomialkoefficienterna, är

$a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+2\,a_{1}\,a_{2}+2\,a_{1}\,a_{3}+2\,a_{2}\,a_{3}.$