En visualisering av termer för de fyra första binomen.
En visualisering av termer för de fyra första binomen.

Binomialsatsen är en sats inom den matematiska analysen. Satsen används för att utveckla potenser av binom.

DefinitionRedigera

Låt   och   vara två godtyckligt valda reella eller komplexa tal. För varje naturligt tal   gäller för exponentieringen av binomet  :

 

där talet

 

är en binomialkoefficient (utläses n över k eller n välj k) och n! betecknar n-fakultet, vilken definieras som

 

HistorikRedigera

 
Sex rader av Pascals triangel

Binomialsatsen och Pascals triangel — som kan användas för att bestämma koefficienterna — brukar tillskrivas Blaise Pascal som beskrev dem på 1600-talet. De var dock tidigare kända av den kinesiske matematikern Yang Hui på 1200-talet, den persiske matematikern Omar Khayyám på 1000-talet, samt den indiske matematikern Pingala på 200-talet f.Kr.

Tillämpningar av binomialsatsenRedigera

  • Binomialsatsen gör det enkelt att skriva ned exponentieringen av binom, vilket annars skulle kunna vara tidsödande att utveckla för hand.
Detta kan illustreras med utvecklingen av  :
 
Den sjätte raden i Pascals triangel innehåller alla binomialkoefficienter som förekommer i denna utveckling: 1, 5, 10, 10, 5 och 1 och utvecklingen kan därmed skrivas
 
  • Om   är en mängd bestående av   stycken element, så anger binomialkoefficienten,  , antalet delmängder till   bestående av   stycken element. Med hjälp av binomialsatsen går det att visa att det kan bildas   delmängder av mängden  :
Det finns   delmängder bestående av noll element och   delmängder bestående av ett element och   delmängder bestående av två element och så vidare. Totalt finns det
 
delmängder till mängden  . Binomialsatsen ger — med   och  
 
  • Med hjälp av binomialsatsen går det att visa att om en mängd består av   element, så är antalet delmängder med ett udda antal element lika med antalet delmängder med ett jämnt antal element.
Om binomialsatsen tillämpas för de två talen   och   ger detta
 
Om heltalet   är jämnt finns det
 
stycken delmängder med ett jämnt antal element, och
 
delmängder med ett udda antal element. Motsvarande resultat gäller då   är ett udda tal.

Newtons generaliserade binomialsatsRedigera

Isaac Newton visade att satsen kan generaliseras till att gälla även då exponenten inte är ett heltal

 

där   kan vara ett godtyckligt komplext tal och  . Binomialkoefficienterna ges då av

 

När   reduceras denna produkt till en tom produkt och är lika med 1.

Andra generaliseringarRedigera

AbelRedigera

Niels Henrik Abel generaliserade 1826 binomialsatsen till

 

som gäller för   och icke-negativa heltal n. Formeln ger den vanliga binomialsatsen när  .

CauchyRedigera

Augustin Louis Cauchy gav 1843 en s.k. q-analog generalisering av binomialsatsen enligt

 

för icke-negativa heltal n. I denna formel definieras q-binomialkoefficienterna (även kallade gaussiska polynom) av

 

där   och   är beteckningar för

 

Bevis av binomialsatsenRedigera

Det går att bevisa binomialsatsen med hjälp av matematisk induktion. Först visas att binomialsatsen gäller för det naturliga talet  . Sedan antas att binomialsatsen är sann för det naturliga talet  . Därefter visas att detta innebär att binomialsatsen är sann för det efterföljande naturliga talet:  . Beviset avslutas sedan genom att åberopa induktionsaxiomet, vilket leder till slutsatsen att binomialsatsen är sann för varje naturligt tal  .

Det räcker att bevisa satsen då talet  , eftersom

 

Låt   vara ett godtyckligt valt (reellt eller komplext) tal. För det naturliga talet n = 1 gäller

 

vilket stämmer med binomialsatsen.

Antag att satsen är sann för det naturliga talet  :

 

vilket är det så kallade induktionsantagandet.

För det efterföljande naturliga talet   utvecklas potensen   och koefficienterna grupperas:

 

Sedan visas att en godtycklig koefficient i denna utveckling kan skrivas som

 
Induktionsantagandet innebär att koefficienten
 
och följande beräkning, uttrycker summan   som binomialkoefficienten  
Definitionerna av binomialkoefficient och fakultet ger
 

Följaktligen är koefficienterna   sådana att

 

vilket innebär att utvecklingen av potensen   kan skrivas som

 
dar det faktum används att
 

Utvecklingen av potensen   kan kortfattat skrivas med hjälp av summasymbolen som

 

vilket enligt binomialsatsen är resultatet då den tillämpas för heltalet  .

Det sista steget i beviset av binomialsatsen är att åberopa induktionsaxiomet, vilket innebär att om det går att visa att ett påstående — i detta fall utvecklingen av potensen   — rörande de naturliga talen är sant för det naturliga talet   och att det även är sant för talets efterföljare,  , så är påståendet sant för alla naturliga tal.

Eftersom talet   var godtyckligt valt har följande påstående bevisats:

För varje (reellt eller komplext) tal   och för varje naturligt tal  , kan potensen   utvecklas enligt:
 

Vi lägger sista handen vid beviset genom att visa exponentieringen av det generella binomet  :

 

Härmed är beviset av binomialsatsen klart.

Se ävenRedigera

  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.