Metabelsk grupp

Inom matematiken är en metabelsk grupp en grupp vars kommutatordelgrupp är abelsk. Ekvivalent är en grupp G metabelsk om och bara om det finns en abelsk normal delgrupp A så att kvotgruppen G/A är abelsk.

Egenskaper

Delgrupper och homomorfa bilder av metabelska grupper är metabelska.
Metabelska grupper är lösbara; de är precis de lösbara grupper som har härledd längd högst 2.

Varje dihedral grupp, emedan den har en cyklisk normal delgrupp av index 2. Mer allmänt är varje generaliserad dihedral grupp metabelsk, emedan den har en abelsk normal delgrupp av index 2.
Heisenberggruppen H_3,p av ordning p³.
Alla nilpotenta grupper av klass 3 eller mindre är metabelska.
Alla grupper av ordning p⁵, med p ett primtal, är metabelska.MSE
Alla grupper av ordning mindre än 24 är metabelska. Grupper av högre ordning är inte nödvändigtvis metabelska; symmetriska gruppen S₄ av ordning 24 är inte metabelsk, ty dess kommutatordelgrupp är den icke-abelska alternerande gruppen A₄.

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Metabelian group, 19 januari 2015.

Robinson, Derek J.S. (1996), A Course in the Theory of Groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6