Liouville–von Neumann-ekvationen , eller enbart von Neumann-ekvationen , är en ekvation inom kvantmekaniken som beskriver tidsutvecklingen för ett slutet system , det vill säga ett system som kan beskrivas med en Hamiltonoperator . Ekvationen baserar sig på täthetsmatrisformalismen och är uppkallad efter Joseph Liouville och John von Neumann . Ekvationen är kvantmekanikens motsvarighet till Liouville-ekvationen i klassisk fysik.
Givet en Hamiltonoperator
H
^
S
{\displaystyle {\hat {H}}_{S}}
Schrödingerbilden ges tidsutvecklingen för täthetsmatrisen
ρ
^
S
(
t
)
{\displaystyle {\hat {\rho }}_{S}(t)}
Liouville–von Neumann-ekvationen
d
d
t
ρ
^
S
(
t
)
=
−
i
ℏ
[
H
^
S
,
ρ
^
S
]
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {\rho }}_{S}(t)=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}}_{S},{\hat {\rho }}_{S}]}
I växelverkansbilden , med en Hamiltonoperator
H
^
I
{\displaystyle {\hat {H}}_{I}}
ρ
^
I
(
t
)
{\displaystyle {\hat {\rho }}_{I}(t)}
Liouville–von Neumann-ekvationen
d
d
t
ρ
^
I
(
t
)
=
−
i
ℏ
[
H
^
I
,
ρ
^
I
(
t
)
]
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {\rho }}_{I}(t)=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}}_{I},{\hat {\rho }}_{I}(t)]}
Tidsutveckling som beskrivs av Liouville–von Neumann-ekvationen är den enklast möjliga. Eftersom ekvationen motsvar en unitär transformation kommer von Neumann-entropin, som ges av
S
=
−
tr
(
ρ
^
log
(
ρ
^
)
)
{\displaystyle S=-{\text{tr}}\left({\hat {\rho }}{\text{log}}({\hat {\rho }})\right)}
Liouville–von Neumann-ekvationen avbildar fysikaliska tillstånd på fysikaliska tillstånd. Den bevarar spåret hos täthetsmatriserna och även deras positivitet . Mer allmänt är Liouville–von Neumann-ekvationen fullständigt positiv och det enklaste exemplet på en kvantoperation .
Lösningen till Liouville–von Neumann-ekvationen kan formellt skrivas som
Formell lösning
ρ
^
S
(
t
)
=
U
(
t
,
t
0
)
ρ
S
(
t
0
)
=
U
(
t
,
t
0
)
ρ
^
(
t
0
)
U
†
(
t
,
t
0
)
{\displaystyle {\hat {\rho }}_{S}(t)={\mathcal {U}}(t,t_{0})\rho _{S}(t_{0})=U(t,t_{0}){\hat {\rho }}(t_{0})U^{\dagger }(t,t_{0})}
där
U
(
t
,
t
0
)
{\displaystyle U(t,t_{0})}
tidsutvecklingsoperatorn .
Liouville–von Neumann-ekvationen kan härledas direkt ur Schrödingerekvationen
i
ℏ
d
d
t
|
ψ
⟩
=
H
^
S
|
ψ
⟩
{\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi \rangle ={\hat {H}}_{S}|\psi \rangle }
ρ
^
(
t
)
=
∑
i
p
i
|
ψ
i
⟩
⟨
ψ
i
|
{\displaystyle {\hat {\rho }}(t)=\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}
d
d
t
ρ
^
(
t
)
=
d
d
t
(
∑
i
p
i
|
ψ
i
⟩
⟨
ψ
i
|
)
=
∑
i
p
i
d
d
t
(
|
ψ
i
⟩
)
⟨
ψ
i
|
+
∑
i
p
i
|
ψ
i
⟩
d
d
t
(
⟨
ψ
i
|
)
=
∑
i
p
i
(
−
i
ℏ
H
S
)
|
ψ
i
⟩
⟨
ψ
i
|
+
∑
i
p
i
|
ψ
i
⟩
⟨
ψ
i
|
(
i
ℏ
H
^
S
)
=
−
i
ℏ
[
H
^
S
,
ρ
^
(
t
)
]
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {\rho }}(t)={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\right)=\sum _{i}p_{i}{\frac {d}{dt}}\left(|\psi _{i}\rangle \right)\langle \psi _{i}|+\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle {\frac {d}{dt}}\left(\langle \psi _{i}|\right)=\sum _{i}p_{i}\left(-{\frac {i}{\hbar }}H_{S}\right)|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|+\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\left({\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{S}\right)=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}}_{S},{\hat {\rho }}(t)]}
För ett öppet kvantsystem
S
{\displaystyle S}
E
{\displaystyle E}
S
+
E
{\displaystyle S+E}
ρ
^
S
E
(
t
)
{\displaystyle {\hat {\rho }}_{SE}(t)}
S
{\displaystyle S}
ρ
^
S
(
t
)
=
tr
E
(
ρ
S
E
(
t
)
)
{\displaystyle {\hat {\rho }}_{S}(t)={\text{tr}}_{E}(\rho _{SE}(t))}
S
+
E
{\displaystyle S+E}
d
d
t
ρ
^
S
E
(
t
)
=
−
i
ℏ
[
H
^
S
E
,
ρ
^
S
E
(
t
)
]
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {\rho }}_{SE}(t)=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}}_{SE},{\hat {\rho }}_{SE}(t)]}
vars formella lösning ges av
ρ
^
S
E
(
t
)
=
U
(
t
,
t
0
)
ρ
^
S
E
(
t
0
)
U
†
(
t
,
t
0
)
.
{\displaystyle {\hat {\rho }}_{SE}(t)=U(t,t_{0}){\hat {\rho }}_{SE}(t_{0})U^{\dagger }(t,t_{0}).}
Från detta samband fås att
d
d
t
ρ
^
S
(
t
)
=
tr
E
(
U
(
t
,
t
0
)
ρ
^
S
E
(
t
0
)
U
†
(
t
,
t
0
)
)
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {\rho }}_{S}(t)={\text{tr}}_{E}\left(U(t,t_{0}){\hat {\rho }}_{SE}(t_{0})U^{\dagger }(t,t_{0})\right)}
Under antagandet att tillståndet är ett produkttillstånd vid starttiden
t
0
{\displaystyle t_{0}}
ρ
^
S
E
(
t
0
)
=
ρ
^
S
(
t
0
)
⊗
ρ
^
E
(
t
0
)
{\displaystyle {\hat {\rho }}_{SE}(t_{0})={\hat {\rho }}_{S}(t_{0})\otimes {\hat {\rho }}_{E}(t_{0})}
kvantoperation :
d
d
t
ρ
^
S
(
t
)
=
tr
E
(
U
(
t
,
t
0
)
(
ρ
^
S
(
t
0
)
⊗
ρ
E
(
t
0
)
)
U
†
(
t
,
t
0
)
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {\rho }}_{S}(t)={\text{tr}}_{E}\left(U(t,t_{0})({\hat {\rho }}_{S}(t_{0})\otimes \rho _{E}(t_{0}))U^{\dagger }(t,t_{0})\right).}
En sådan kvantoperation är fullständigt positiv och kan därför alltid representeras med Krausoperatorer .
Breuer, Heinz-Peter; Francesco Petruccione (2002). The Theory of Open Quantum Systems ISBN 9780198520634 
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {\rho }}_{S}(t)=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}}_{S},{\hat {\rho }}_{S}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57af97694283707ec5b76bac5d52426db4f2a138)
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {\rho }}_{I}(t)=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}}_{I},{\hat {\rho }}_{I}(t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c617bd4b522d18512f60170900e6966461eac238)
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {\rho }}(t)={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\right)=\sum _{i}p_{i}{\frac {d}{dt}}\left(|\psi _{i}\rangle \right)\langle \psi _{i}|+\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle {\frac {d}{dt}}\left(\langle \psi _{i}|\right)=\sum _{i}p_{i}\left(-{\frac {i}{\hbar }}H_{S}\right)|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|+\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\left({\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{S}\right)=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}}_{S},{\hat {\rho }}(t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29bf4217272787e0b2e33647771164cebda94022)
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {\rho }}_{SE}(t)=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}}_{SE},{\hat {\rho }}_{SE}(t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cc6b90cea157e3d1d543c984cd91ffa1575ab00)
