Kvantoperation

En kvantoperation är en specifik typ av kvantprocess som beskriver tidsutvecklingen för en bred klass av öppna kvantsystem. Tidsutvecklingen för ett öppet system från tidpunkten $t_{0}$ och framåt beskrivs av en kvantoperation om (1) systemet och dess omgivning vid $t=t_{0}$ befinner sig i ett produkttillstånd och (2) systemet och omgivningen för alla tider $t\geq t_{0}$ utgör ett slutet system.

Varje kvantoperation kan beskrivas av en icke-spårökande, fullständigt positiv linjär avbildning. Detta medför att varje kvantoperation kan beskrivas av Krausoperatorer.

Fysikalisk beskrivning

Inom kvantmekaniken beskrivs tillståndet för ett kvantsystem av en täthetsmatris. Tidsutvecklingen för systemet bestämmer hur täthetsmatrisen ${\hat {\rho }}(t_{0})$ vid en viss tidpunkt $t_{0}$ ger upphov till andra täthetsmatriser ${\hat {\rho }}(t)$ vid senare tidpunkter $t>t_{0}$.

För ett slutet system är tidsutvecklingen unitär, det vill säga normbevarande, och ges av Liouville–von Neumann-ekvationen. Givet en viss Hamiltonoperator ${\hat {H}}$ och tidsutvecklingsoperatorn ${\hat {U}}(t,t_{0})=e^{-iH(t-t_{0})/\hbar }$ ges tidsutvecklingen av ${\hat {\rho }}(t)={\hat {U}}(t,t_{0}){\hat {\rho }}(t_{0}){\hat {U}}^{\dagger }(t,t_{0})$. Hamiltonoperatorn, eller tidsutvecklingsoperatorn, definierar således tidsutvecklingen helt.

För ett öppet system är tidsutvecklingen icke-unitär och kan inte längre beskrivas med Hamiltonformalismen. Om det öppna systemet $S$ och dess omgivning $E$ tillsammans utgör ett slutet system, kan dock täthetsmatrisen ${\hat {\rho }}_{SE}(t)$ för det sammansatta systemet $S+E$ fortfarande beskrivas av en Hamiltonoperator. Det gäller således att ${\hat {\rho }}_{SE}(t)={\hat {U}}_{SE}(t,t_{0}){\hat {\rho }}_{SE}(t_{0}){\hat {U}}_{SE}^{\dagger }(t,t_{0})$, där ${\hat {U}}_{SE}(t,t_{0})$ betecknar tidsutvecklingsoperatorn för det sammansatta systemet. Täthetsmatrisen ${\hat {\rho }}_{S}$ för systemet $S$ erhålls genom det partiella spåret av ${\hat {\rho }}_{SE}$. Alltså gäller

${\hat {\rho }}_{S}(t)={\text{tr}}_{E}[{\hat {\rho }}_{SE}(t)]={\text{tr}}_{E}[{\hat {U}}_{SE}(t,t_{0}){\hat {\rho }}_{SE}(t_{0}){\hat {U}}_{SE}^{\dagger }(t,t_{0})]$.

Om det sammansatta systemet antas vara i ett produkttillstånd, ${\hat {\rho }}_{SE}(t_{0})={\hat {\rho }}_{S}(t_{0})\otimes {\hat {\rho }}_{E}(t_{0})$, vid $t=t_{0}$ fås slutligen sambandet

${\hat {\rho }}_{S}(t)={\text{tr}}_{E}[{\hat {U}}_{SE}(t,t_{0}){\hat {\rho }}_{S}(t_{0})\otimes {\hat {\rho }}_{E}(t_{0}){\hat {U}}_{SE}^{\dagger }(t,t_{0})]$.

Det framgår av detta samband att täthetsmatrisen vid en tidpunkt $t>t_{0}$ är linjärt beroende av täthetsmatrisen vid tidpunkten $t=t_{0}$. Vidare är denna linjära avbildning både icke-spårökande och fullständigt positiv.

Krausoperatorer

De tre ovannämnda egenskaperna hos en kvantoperation (linjär, icke-spårökande och fullständigt positiv) medför att varje kvantoperation kan beskrivas av så kallade Krausoperatorer ${\hat {E}}_{i}$. Givet två Hilbertrum med dimensionerna $m$ och $n$ och Krausoperatorer $\{{\hat {E}}_{i}\}_{1\leq i\leq mn}$ med $\sum _{i}{\hat {E}}_{i}^{\dagger }{\hat {E}}_{i}\leq 1$, kan kvantoperationen uttryckas som

${\hat {\rho }}(t)=\sum _{i}{\hat {E}}_{i}{\hat {\rho }}(t_{0}){\hat {E}}_{i}^{\dagger }$

Delbara kvantoperationer

Givet en en-parameterfamilj av kvantoperationer $\Phi _{t}$, som beskriver tidsutvecklingen för ett system till olika tider $t>t_{0}$, kan olika egenskaper för det öppna systemet härledas utifrån egenskaperna hos $\Phi _{t}$.

Om inversen $\Phi _{t}^{-1}$ existerar kallas kvantoperationerna för delbara. Det går då att definiera kvantiteten $\Phi _{t,s}\equiv \Phi _{t}\Phi _{s}^{-1}$, som kan ses som en kvantprocess som tar systemet från tidpunkten $s$ till tidpunkten $t$. Särskilt gäller att $\Phi _{t}=\Phi _{t,0}$ och $\Phi _{s}=\Phi _{s,0}$. Varje system som beskrivs av delbara kvantoperationer kan också beskrivas av en tidslokal kvantmasterekvation.

En viktig egenskap hos kvantprocessen $\Phi _{t,s}$ är att den inte nödvändigtvis är en kvantoperation eftersom $\Phi _{s}^{-1}$ inte nödvändigtvis är en fullständigt positiv avbildning eller ens en positiv avbildning.

Om $\Phi _{t,s}$ är en positiv avbildning kallas de ursprungliga kvantoperationerna $\Phi _{t}$ för P-delbara. Om $\Phi _{t,s}$ är en fullständigt positiv avbildning kallas $\Phi _{t}$ för CP-delbara.

Se även

• Täthetsmatris

Referenser

• Non-Markovian dynamics in open quantum systems