Kvadratisk Gaussumma

Inom talteori är en kvadratisk Gaussumma en viss ändlig summa av enhetsrötter. Summan är uppkallad efter Carl Friedrich Gauss som studerade dem och använde dem till kvadratiska, kubiska och bikvadratiska reciprocitetslagar.

Definition

Låt p vara ett udda primtal och a ett heltal. Då är Gaussumman modulo p, g(a;p), följande summa av p-te enhetsrötter:

$g(a;p)=\sum _{n=0}^{p-1}e^{2{\pi }ian^{2}/p}=\sum _{n=0}^{p-1}\zeta _{p}^{an^{2}},\quad \zeta _{p}=e^{2{\pi }i/p}.$

Om a inte är delbar med p är ett alternativt uttryck för Gaussumman

$G(a,\chi )=\sum _{n=1}^{p-1}\left({\frac {n}{p}}\right)e^{2{\pi }ian/p}$

där $\chi (n)=\left({\frac {n}{p}}\right)$ är Legendresymbolen.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Quadratic Gauss sum, 30 januari 2014.

• Ireland and Rosen (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97329-X 
• Bruce C. Berndt, Ronald J. Evans and Kenneth S. Williams (1998). Gauss and Jacobi Sums. Wiley and Sons, Inc. ISBN 0-471-12807-4 
• Henryk Iwaniec, Emmanuel Kowalski (2004). Analytic number theory. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3633-1