Inom elementär och algebraisk talteori är kubisk reciprocitet en samling satser om lösbarheten av kongruensen x3 ≡ p (mod q); ordet "reciprocitet" kommer från den viktigaste satsen, som säger att om p och q är primtal i ringen av Eisensteinheltal, båda relativt prima till 3, är

kongruensen x3p (mod q) lösbar om och bara om x3q (mod p) är.

HeltalRedigera

En kubisk rest (mod p) är ett godtyckligt tal som är en tredje potens av ett heltal (mod p). Om x3a (mod p) saknar heltalslösningar kallas a för en kubisk ickerest (mod p).[1]

Såsom ofta inom talteori är det enklast att arbeta med primtal, så i denna sektion är alla p, q, etcetera positiva udda primtal.[1]

Det första att notera då man arbetar med ringen Z av heltal är att om primtalet q är ≡ 2 (mod 3) varje tal en kubisk rest (mod q). Låt q = 3n + 2; eftersom 0 = 03 är en kubisk rest, anta att x inte är delbar med q. Då är enligt Fermats lilla sats

 
 

är en kubisk rest (mod q).

Härmed är det enda intressanta fallet det då p ≡ 1 (mod 3).

EulerRedigera

För relativt prima heltal m och n, definiera den rationella kubiska restsymbolen som

 

En sats av Fermat[2][3] säger att varje primtal p ≡ 1 (mod 3) är summan av en kvadrat och tre gånger en kvadrat: p = a2 + 3b2 och att (förutom tecknen a och b) är denna representation unik.

Baserat på detta gjorde Euler[4][5] följande förmodanden:

 

GaussRedigera

Gauss[6][7] bevisade att om      är        från vilket    följer ganska lätt.

Se ävenRedigera

KällorRedigera

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Cubic reciprocity, 24 april 2014.
  1. ^ [a b] cf. Gauss, BQ § 2
  2. ^ Gauss, DA, Art. 182
  3. ^ Cox, Ex. 1.4–1.5
  4. ^ Euler, Tractatus, §§ 407–401
  5. ^ Lemmermeyer, p. 222–223
  6. ^ Gauss, DA footnote to art. 358
  7. ^ Lemmermeyer, Ex. 7.9

Externa länkarRedigera