Inom kategoriteorin i matematik är en funktor en tillordning som på ett naturligt sätt till varje objekt i en kategori associerar något objekt i samma eller en annan kategori.

InledningRedigera

En mycket vanlig konstruktion i matematiken är att man till en struktur av en viss typ associerar en annan struktur. Några exempel på sådana konstruktioner är:

  1. Till ett topologiskt rum associerar man dess homologigrupper
  2. Till en ring associerar man dess maximala fraktionsring
  3. Till en grupp associerar man dess centrum
  4. Till ett komplex associerar man dess homologikomplex
  5. Givet en abelsk grupp  , associerar man till varje abelsk   grupp gruppen av homomorfismer  

Om en sådan association är sådan att avbildningar mellan två strukturer på ett naturligt sätt inducerar avbildningar mellan de associerade strukturerna, kallas associationen för en funktor. Mer allmänt kan man definiera funktorer mellan två kategorier Alla associationer i listan ovan är funktorer.

Kovariant och kontravariant funktorRedigera

En kovariant funktor är en funktor som bevarar ordningen på morfierna.

En kontravariant funktor är en funktor som kastar om ordningen på morfierna.

Om termen "funktor" används utan att variansen anges, så syftar termen oftast på en kovariant funktor.

DefinitionerRedigera

Givet två kategorier   så är en (kovariant) funktor   ett par av tillordningar   där   avbildar objekt i   på objekt i   och   avbildar morfier i   på morfier i   sådan att följande är sant:

  • Om   och   så gäller  
  • Om   

För en kontravariant funktor ersätts villkoren med:

  • Om   och   så gäller  
  • Om   

Funktorer med extra egenskaperRedigera

Låt   vara en (kovariant) funktor och låt som brukligt   beteckna mängden av morfismer från objektet   till objektet   i kategorin   (dito för kategorin  ). Funktorn   ger för varje par   av objekt i   en avbildning

 .

Funktorn   sägs vara trogen om varje sådan   är injektiv. Den sägs vara full om varje sådan   är surjektiv. En funktor som är både trogen och full sägs vara fullt trogen.


  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.