Instängningssatsen

Instängningssatsen, även satsen om de två polismännen, polislemmat, klämsatsen, är en sats (ibland sedd som ett lemma) inom matematisk analys. Satsen innebär att om funktionen f är större än g men mindre än h (g < f < h), i ett visst intervall, måste f vara lika med g och h om både h och g närmar sig en punkt p.

Ett exempel på instängningssatsen, g=blå kurva, f=svart kurva och h=röd kurva.
Svart kurva visar grafen till
$x^{2}\sin {\frac {1}{x}}$

Satsen kan skrivas

Låt I vara ett intervall som innehåller punkten a. Låt f, g, och h vara funktioner definierade på intervallet I, utom möjligtvis för punkten a. Antag att för varje x i I skilt från a

$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$

och att

$\lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L$

Då måste $\lim _{x\to a}f(x)=L$

Namnet satsen om de två polismännen härstammar från jämförelsen att de två polismännen Gustav (g) och Harald (h) med boven Frans (f) mellan sig rör sig mot fängelset; då Gustav och Harald närmar sig fängelset har Frans ingen annanstans att ta vägen än att följa med.

Exempel

Funktion av en variabel

Olikheten
$\sin x<x<\tan x$
illustrerad på enhetscirkeln

Gränsvärdet

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$

kan bevisas med instängningssatsen. För 0 < x < π/2 kan det visas att

$\sin x<x<\tan x$

Division med sin(x) ger

$1<{\frac {x}{\sin x}}<{\frac {\tan x}{\sin x}},$

$1<{\frac {x}{\sin x}}<{\frac {1}{\cos x}},$

$\lim _{x\to 0}{\frac {1}{\cos x}}={\frac {1}{1}}=1$

och instängningssatsen ger då

$\lim _{x\to 0}{\frac {x}{\sin x}}=1$

och således är

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$

Funktion av två variabler

$g(x,y)\leq f(x,y)\leq h(x,y)$

Instängningssatsen kan användas även för funktioner av flera variabler. I till exempel fallet f : R² → R blir funktionsvillkoren

$g(x,y)\leq f(x,y)\leq h(x,y)$

för alla (x, y) i en omgivning till gränsvärdespunkten. Ett villkor är att målfunktionen verkligen har ett gränsvärde i den givna punkten. Satsen kan därför användas för att visa att en funktion har ett gränsvärde i en given punkt, men kan inte användas för att visa att gränsvärdet inte existerar.

${\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}$

Visa att gränsvärdet

$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}$

existerar.

$0\leq {\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\leq 1,$

$-\left|y\right\vert \leq y\leq \left|y\right\vert ,$

$-\left|y\right\vert \leq {\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}\leq \left|y\right\vert ,$

$\lim _{(x,y)\to (0,0)}-\left|y\right\vert =0,$

$\lim _{(x,y)\to (0,0)}\left|y\right\vert =0,$

$0\leq \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}\leq 0,$

därför är, enligt instängningssatsen,

$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}=0$

Se även

• Gränsvärde

Referenser

• Weisstein, Eric W., "Squeezing Theorem", MathWorld. (engelska)