För att använda satsen börjar man naturligtvis med att försäkra sig om att uttrycket uppfyller kraven, och så noterar man gradtalet på
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)}
polynom
Q
{\displaystyle Q}
grad , dvs.
Q
(
x
)
=
B
0
+
B
1
x
+
.
.
.
+
B
n
−
1
x
n
−
1
{\displaystyle Q(x)=B_{0}+B_{1}x+...+B_{n-1}x^{n-1}}
Detta ger då att
∫
A
0
+
A
1
x
+
.
.
.
+
A
n
−
1
x
n
−
1
+
A
n
x
n
a
x
2
+
b
x
+
c
d
x
=
(
B
0
+
B
1
x
+
.
.
.
+
B
n
−
1
x
n
−
1
)
a
x
2
+
b
x
+
c
+
∫
K
a
x
2
+
b
x
+
c
d
x
{\displaystyle \int {\frac {A_{0}+A_{1}x+...+A_{n-1}x^{n-1}+A_{n}x^{n}}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}dx=(B_{0}+B_{1}x+...+B_{n-1}x^{n-1}){\sqrt {ax^{2}+bx+c}}+\int {\frac {K}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}dx}
Nästa steg blir sedan att derivera båda sidor i likheten. De obestämda integralerna blir särskilt enkla att derivera , då det bara är integranden som blir kvar. I övrigt används vanliga deriveringsregler . Slutligen sätter man hela högerledet på gemensam nämnare , så att nämnaren stämmer överens med den i vänsterledet.
A
0
+
A
1
x
+
.
.
.
+
A
n
−
1
x
n
−
1
+
A
n
x
n
a
x
2
+
b
x
+
c
=
(
B
1
+
2
B
2
x
+
.
.
.
+
(
n
−
1
)
B
n
−
1
x
n
−
2
)
a
x
2
+
b
x
+
c
+
{\displaystyle {\frac {A_{0}+A_{1}x+...+A_{n-1}x^{n-1}+A_{n}x^{n}}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}=(B_{1}+2B_{2}x+...+(n-1)B_{n-1}x^{n-2}){\sqrt {ax^{2}+bx+c}}+}
+
(
B
0
+
B
1
x
+
.
.
.
+
B
n
−
1
x
n
−
1
)
a
x
+
b
2
a
x
2
+
b
x
+
c
+
K
a
x
2
+
b
x
+
c
=
{\displaystyle +(B_{0}+B_{1}x+...+B_{n-1}x^{n-1}){\frac {ax+{\frac {b}{2}}}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}+{\frac {K}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}=}
=
(
B
1
+
2
B
2
x
+
.
.
.
+
(
n
−
1
)
B
n
−
1
x
n
−
2
)
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
+
(
B
0
+
B
1
x
+
.
.
.
+
B
n
−
1
x
n
−
1
)
(
a
x
+
b
2
)
+
K
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ={\frac {(B_{1}+2B_{2}x+...+(n-1)B_{n-1}x^{n-2})(ax^{2}+bx+c)+(B_{0}+B_{1}x+...+B_{n-1}x^{n-1})(ax+{\frac {b}{2}})+K}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}}
Härifrån är det bara att identifiera och lösa ut koefficienterna i täljaren, för att slutligen stoppa in i ansatsen.
Det enda som sedan återstår är att beräkna den högra integralen , men eftersom K är en konstant görs detta enkelt enligt följande
∫
K
a
x
2
+
b
x
+
c
d
x
=
K
∫
d
x
a
x
2
+
b
x
+
c
=
K
a
∫
d
x
x
2
+
b
a
x
+
c
a
=
{\displaystyle \int {\frac {K}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}dx=K\int {\frac {dx}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}={\frac {K}{\sqrt {a}}}\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}}}}=}
=
K
a
∫
d
x
(
x
+
b
2
a
)
2
+
c
a
−
b
2
4
a
2
=
K
a
∫
d
x
(
x
+
b
2
a
)
2
+
4
a
c
−
b
2
4
a
2
=
K
a
ln
|
x
+
b
2
a
+
(
x
+
b
2
a
)
2
+
4
a
c
−
b
2
4
a
2
|
+
C
{\displaystyle ={\frac {K}{\sqrt {a}}}\int {\frac {dx}{\sqrt {(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}}}}={\frac {K}{\sqrt {a}}}\int {\frac {dx}{\sqrt {(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a^{2}}}}}}={\frac {K}{\sqrt {a}}}\ln \left|x+{\frac {b}{2a}}+{\sqrt {(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a^{2}}}}}\right|+C}
Där vi i slutsteget har använt följande standardintegral
∫
d
x
x
2
+
a
=
ln
|
x
+
x
2
+
a
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+a}}}=\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}+a}}\right|+C}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
Exempel på användning
redigera
Vi ska nu använda Hermites Rot-ansats för att ta fram följande primitiva funktion . Exemplet är hämtat ur "Matematisk analys en variabel" av Göran Forsling och Mats Neymark på Linköpings universitet.
∫
x
3
+
x
2
x
2
+
2
d
x
{\displaystyle \int {\frac {x^{3}+x^{2}}{\sqrt {x^{2}+2}}}dx}
Vi börjar med att konstatera att den uppfyller våra tidigare ställda krav, och att gradtalet på täljarens polynom är tre.
Vi ansätter därför ett polynom av grad två,
Q
(
x
)
=
A
x
2
+
B
x
+
C
{\displaystyle Q(x)=Ax^{2}+Bx+C}
∫
x
3
+
x
2
x
2
+
2
d
x
=
(
A
x
2
+
B
x
+
C
)
x
2
+
2
+
∫
K
x
2
+
2
d
x
{\displaystyle \int {\frac {x^{3}+x^{2}}{\sqrt {x^{2}+2}}}dx=(Ax^{2}+Bx+C){\sqrt {x^{2}+2}}+\int {\frac {K}{\sqrt {x^{2}+2}}}dx}
Derivering av VL och HL ger
x
3
+
x
2
x
2
+
2
=
(
2
A
x
+
B
)
x
2
+
2
+
(
A
x
2
+
B
x
+
C
)
⋅
x
x
2
+
2
+
K
x
2
+
2
=
{\displaystyle {\frac {x^{3}+x^{2}}{\sqrt {x^{2}+2}}}=(2Ax+B){\sqrt {x^{2}+2}}+(Ax^{2}+Bx+C)\cdot {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+2}}}+{\frac {K}{\sqrt {x^{2}+2}}}=}
=
(
2
A
x
+
B
)
(
x
2
+
2
)
+
(
A
x
2
+
B
x
+
C
)
x
+
K
x
2
+
2
=
3
A
x
3
+
2
B
x
2
+
(
4
A
+
C
)
x
+
(
2
B
+
K
)
x
2
+
2
{\displaystyle ={\frac {(2Ax+B)(x^{2}+2)+(Ax^{2}+Bx+C)x+K}{\sqrt {x^{2}+2}}}={\frac {3Ax^{3}+2Bx^{2}+(4A+C)x+(2B+K)}{\sqrt {x^{2}+2}}}}
Identifiering av koefficienterna ger följande ekvationssystem
{
3
A
=
1
2
B
=
1
4
A
+
C
=
0
2
B
+
K
=
0
Vilket ger att
{
A
=
1
3
B
=
1
2
C
=
−
4
3
K
=
−
1
{\displaystyle {\begin{cases}3A=1\\2B=1\\4A+C=0\\2B+K=0\end{cases}}{\mbox{Vilket ger att }}{\begin{cases}A={\frac {1}{3}}\\B={\frac {1}{2}}\\C=-{\frac {4}{3}}\\K=-1\end{cases}}}
Detta insatt i ursprungsansatsen ger
∫
x
3
+
x
2
x
2
+
2
d
x
=
(
x
2
3
+
x
2
−
4
3
)
x
2
+
2
−
∫
d
x
x
2
+
2
=
(
x
2
3
+
x
2
−
4
3
)
x
2
+
2
−
ln
(
x
+
x
2
+
2
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {x^{3}+x^{2}}{\sqrt {x^{2}+2}}}dx=\left({\frac {x^{2}}{3}}+{\frac {x}{2}}-{\frac {4}{3}}\right){\sqrt {x^{2}+2}}-\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+2}}}=\left({\frac {x^{2}}{3}}+{\frac {x}{2}}-{\frac {4}{3}}\right){\sqrt {x^{2}+2}}-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+2}}\right)+C}
Forsling, Göran och Neymark, Mats, Matematisk analys en variabel , (2004), Liber ISBN 9147051884 
