Gross–Koblitzs formel

Inom matematiken är Gross–Koblitzs formel, introducerad av Gross och Koblitz (1979), en formel som uttrycker en Gaussumma som en produkt av värden av p-adiska gammafunktionen. Den är en analogi av Chowla–Selbergs formel för vanliga gammafunktionen. Den implicerar Hasse–Davenports relation och generaliserar Stickelbergers sats. Boyarsky (1980) gav ett annat bevis av formeln genom att använda Dworks arbete. Robert (2001) gav ett elementärt bevis.

Formeln redigera

Gross–Koblitzs formel säger att Gaussumman τ kan skrivas med hjälp av p-adiska gammafunktionen Γ_p som

\tau _{q}(r)=-\pi ^{s_{p}(r)}\prod _{0\leq i<f}\Gamma _{p}(r^{(i)}/(q-1))

där

q är en potens p^f av ett primtal p
r är ett heltal med 0 ≤ r < q–1
r⁽ⁱ⁾ är heltalet vars som skrivet i bas p är en cyklisk permutation av de f siffrorna av r med i positioner.
s_p(r) är summan av siffrorna av r i p
$\tau _{q}(r)=\sum _{a^{q-1}=1}a^{-r}\zeta _{\pi }^{{\text{Tr}}(a)}$

där summan är över enhetsrötterna i utvidgningen Q_p(π)

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Gross–Koblitz formula, 2 februari 2015.