Fullständighetsrelationen

Fullständighetsrelationen är en relation av central betydelse inom kvantmekaniken. Relationen innebär att summan av samtliga projektionsoperatorer på en ortonormal bas av kvanttillstånd i ett Hilbertrum är lika med identitetsoperatorn.

En ortonormal bas av kvanttillstånd kan erhållas i form av egentillstånden till en godtycklig observabel, som inom kvantmekaniken representeras av en Hermitesk operator. Projektionsoperatorn på ett egentillstånd $|n\rangle$ med egenvärdet $n$ ges av den yttre produkten $|n\rangle \langle n|$. Spektrumet kan vara diskret eller kontinuerligt.

För ett diskret spektrum ges fullständighetsrelationen av

Fullständighetsrelationen (diskret spektrum) $\sum _{n}|n\rangle \langle n|={\hat {1}}$

medan den för ett kontinuerligt spektrum ges av

Fullständighetsrelationen (kontinuerligt spektrum) $\int dn|n\rangle \langle n|={\hat {1}}$

Om vissa delar av spektrumet är diskreta medan andra delar är kontinuerliga, så ges fullständighetsrelationen av en summa över de diskreta delarna och en integral över de kontinuerliga delarna.

Härledning

Låt $\{|n\rangle \}$ beteckna en ortonormal bas av kvanttillstånd med $\langle m|n\rangle =\delta _{mn}$, där $\delta _{mn}$ är Kroneckers delta. Varje annat kvanttillstånd $|\psi \rangle$ kan uttryckas som en linjärkombination av dessa tillstånd:

$|\psi \rangle =\sum _{n}c_{n}|n\rangle .$

Eftersom basens tillstånd är ortonormala är koefficienterna $c_{n}$ entydigt bestämda:

$\langle m|\psi \rangle =\langle m|\sum _{n}c_{n}|n\rangle =\sum _{n}c_{n}\langle m|n\rangle =\sum _{n}c_{n}\delta _{mn}=c_{m}.$

Således kan ett godtyckligt tillstånd $|\psi \rangle$ uttryckas som

$|\psi \rangle =\sum _{n}\langle n|\psi \rangle |n\rangle =\sum _{n}|n\rangle \langle n|\psi \rangle .$

Eftersom denna relation gäller för ett godtyckligt $|\psi \rangle$ följer det att

$\sum _{n}|n\rangle \langle n|={\hat {1}}$

där ${\hat {1}}$ betecknar identitetsoperatorn. Motsvarande härledning kan användas i fallet med ett kontinuerligt spektrum.

Se även

• Bra-ket-notation

Referenser

• Sakurai, J.J.; Jim Napolitano (2007). Modern Quantum Mechanics (andra upplagan). Pearson Education. ISBN 9780321503367